Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 5C56EC по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5C56EC

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 72

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: восстановить исходную боковую поверхность по коэффициенту 2.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна $36$ . Сечение проходит через среднюю линию основания.

Нужно найти: площадь боковой поверхности исходной призмы.

План решения: Сравним периметры подобных оснований и восстановим исходную боковую поверхность.

Поясняющая формула

S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h

Здесь $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, а $h$ — боковое ребро призмы. При одинаковом $h$ площади боковых поверхностей относятся так же, как периметры.

Шаг 1. Определим отношение периметров

Средняя линия отсекает треугольник с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ . Все стороны, а значит и периметр малого основания, вдвое меньше:

P_{\text{мал}}=\dfrac{1}{2}P_{\text{исх}}

Шаг 2. Сравним боковые поверхности

S_{\text{бок}}=Ph

Высота призмы не изменилась, поэтому

S_{\text{мал}}=\dfrac{1}{2}S_{\text{исх}}

S_{\text{исх}}=2S_{\text{мал}}

Шаг 3. Вычислим исходную площадь

S_{\text{исх}}=2\cdot36=72

Ответ:

72

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .