Шар, объём которого равен 24, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 48EB9B по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 48EB9B

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 36

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: использовать размеры цилиндра, описанного около шара.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Шар объёмом $24$ вписан в цилиндр.

Нужно найти: объём цилиндра.

План решения: Выразим размеры цилиндра через радиус шара, сравним формулы объёмов и применим найденное отношение.

Поясняющая формула

V_{\text{цил}}=\pi r^2h,\qquad V_{\text{шара}}=\dfrac{4}{3}\pi r^3

h=2r

У цилиндра, описанного около шара, радиус основания равен радиусу шара $r$ , а высота равна диаметру шара $2r$ .

Шаг 1. Свяжем размеры шара и цилиндра

Если шар радиуса $r$ вписан в цилиндр, то радиус основания цилиндра равен $r$ , а его высота равна диаметру шара:

R_{\text{цил}}=r,\qquad h=2r

Шаг 2. Сравним объёмы

V_{\text{цил}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3

V_{\text{шара}}=\dfrac{4}{3}\pi r^3

Делим объём цилиндра на объём шара:

\dfrac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{шара}}}=\dfrac{2\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\dfrac{3}{2}

Шаг 3. Найдём объём цилиндра

V_{\text{цил}}=24\cdot\dfrac{3}{2}

24\cdot3=72,\qquad \dfrac{72}{2}=36

V_{\text{цил}}=36

Ответ:

36

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .