Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 3 $2$ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ E45C62 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E45C62

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: выразить боковые поверхности через общий радиус.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту, причём $h=r$ . Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$ .

Нужно найти: площадь боковой поверхности цилиндра.

План решения: Найдём образующую конуса, сравним площади боковых поверхностей и восстановим площадь цилиндра.

Поясняющая формула

l=\sqrt{r^2+h^2}

S_{\text{бок.кон}}=\pi rl,\qquad S_{\text{бок.цил}}=2\pi rh

Здесь $r$ — радиус общего основания, $h$ — общая высота, а $l$ — образующая конуса.

Шаг 1. Найдём образующую конуса

l=\sqrt{r^2+h^2}

Так как $h=r$ , то

l=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}

Шаг 2. Сравним площади

S_{\text{кон}}=\pi rl=\pi r^2\sqrt{2}

S_{\text{цил}}=2\pi rh=2\pi r^2

Отсюда

\dfrac{S_{\text{цил}}}{S_{\text{кон}}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}

Шаг 3. Вычислим площадь цилиндра

S_{\text{цил}}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}

S_{\text{цил}}=3\cdot2=6

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .