Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ D5AC0C по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D5AC0C

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 32

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: восстановить размеры параллелепипеда по вписанному цилиндру.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Цилиндр радиуса $r=2$ и высоты $h=2$ вписан в прямоугольный параллелепипед.

Нужно найти: объём параллелепипеда.

План решения: Найдём стороны основания параллелепипеда через диаметр цилиндра и перемножим три его измерения.

Поясняющая формула

d=2r

V_{\text{паралл}}=a\cdot b\cdot h

Диаметр $d$ вписанной окружности равен сторонам квадратного основания параллелепипеда; $h$ — его высота.

Шаг 1. Найдём размеры основания

Окружность основания цилиндра вписана в квадратное основание параллелепипеда. Сторона квадрата равна диаметру окружности:

d=2r=2\cdot2=4

Поэтому размеры основания параллелепипеда равны

4\times4

Шаг 2. Определим высоту

Высота параллелепипеда равна высоте вписанного цилиндра:

h=2

Шаг 3. Вычислим объём

V=abc

V=4\cdot4\cdot2

4\cdot4=16,\qquad 16\cdot2=32

Ответ:

32

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .