Задание 20 из 61Стереометрия

Линия №3 · Базовый уровень

В прямоугольном параллелепипеде $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B$ = 7, $BC$ = 6, $A A_{1}$ = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_{1}$ .

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 06E32C по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 06E32C

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 35

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: найти объём тетраэдра как одну шестую объёма параллелепипеда.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

В прямоугольном параллелепипеде выделена пирамида. Её основание — прямоугольный треугольник с катетами $7$ и $6$ , высота равна $5$ .

Нужно найти: объём пирамиды.

План решения: Найдём площадь прямоугольного треугольника в основании и применим формулу объёма пирамиды.

Поясняющая формула

S_{\triangle}=\dfrac{a\cdot b}{2}

V_{\text{пир}}=\dfrac{1}{3}S_{\triangle}\cdot h

Здесь $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника в основании, а $h$ — высота пирамиды.

Шаг 1. Найдём площадь основания

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S_{\text{осн}}=\dfrac{ab}{2}

S_{\text{осн}}=\dfrac{7\cdot6}{2}=\dfrac{42}{2}=21

Шаг 2. Запишем формулу объёма пирамиды

V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h

Высота равна перпендикулярному ребру параллелепипеда: $h=5$ .

Шаг 3. Подставим значения

V=\dfrac{1}{3}\cdot21\cdot5

21\cdot5=105

V=\dfrac{105}{3}=35

Ответ:

35

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Не распознать пирамиду или призму, образованную указанными вершинами.
Забыть коэффициент $\frac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды или конуса.
Использовать линейный коэффициент подобия вместо квадрата для площадей.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите тип тела и его основание.
2Проверьте, какая длина является высотой.
3Сверьте коэффициенты в формуле и единицы результата.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №3

Все задания линии №3 →

СтереометрияПлощадь боковой поверхности треугольной призмы равна 48. Через среднюю линию основания…FIPI ID 91Be4D СтереометрияЦилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания…FIPI ID 37164B СтереометрияНайдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, C1 правильной…FIPI ID BE03FA СтереометрияВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 7, AA1 = 6. Найдите…FIPI ID ADF4FE СтереометрияШар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.FIPI ID 6D5AF2 СтереометрияНайдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1…FIPI ID 29FE0E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №3Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1​B1​C1​D1​ известно, что AB = 7, BC = 6, AA1​ = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1​.