Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 30. Найдите объём конуса.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 26B211 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 26B211

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 10

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: использовать отношение объёмов конуса и цилиндра 1 : 3.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Цилиндр и конус имеют одинаковые основание и высоту. Объём цилиндра равен $30$ .

Нужно найти: объём конуса.

План решения: Сравним формулы объёмов фигур с одинаковыми основанием и высотой.

Поясняющая формула

V_{\text{цил}}=S_{\text{осн}}h

V_{\text{кон}}=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h

При одинаковых основании и высоте объём конуса составляет треть объёма цилиндра.

Шаг 1. Запишем формулы объёмов

V_{\text{цил}}=S_{\text{осн}}h

V_{\text{кон}}=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h

Шаг 2. Сравним объёмы

Основание и высота одинаковы, но в формуле конуса есть множитель $\dfrac{1}{3}$ . Поэтому

V_{\text{кон}}=\dfrac{1}{3}V_{\text{цил}}

Шаг 3. Вычислим объём конуса

V_{\text{кон}}=\dfrac{30}{3}=10

Ответ:

10

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .