Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 30. Найдите площадь поверхности шара.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 1E28D8 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1E28D8

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 20

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: сравнить площади поверхностей шара и описанного цилиндра.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна $30$ .

Нужно найти: площадь поверхности шара.

План решения: Выразим обе площади через общий радиус и найдём их постоянное отношение.

Поясняющая формула

S_{\text{цил}}=2\pi rh+2\pi r^2

S_{\text{шара}}=4\pi r^2

Первое слагаемое в формуле цилиндра — боковая поверхность, второе — площади двух оснований. Для цилиндра около шара $h=2r$ .

Шаг 1. Свяжем размеры фигур

Для цилиндра, описанного около шара радиуса $r$ , радиус основания равен $r$ , а высота равна диаметру шара:

h=2r

Шаг 2. Сравним площади поверхностей

Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований:

S_{\text{цил}}=2\pi rh+2\pi r^2

S_{\text{цил}}=2\pi r\cdot2r+2\pi r^2=6\pi r^2

Площадь поверхности шара:

S_{\text{шара}}=4\pi r^2

Значит,

S_{\text{шара}}=\dfrac{4}{6}S_{\text{цил}}=\dfrac{2}{3}S_{\text{цил}}

Шаг 3. Вычислим площадь шара

S_{\text{шара}}=30\cdot\dfrac{2}{3}

30\div3=10,\qquad 10\cdot2=20

Ответ:

20

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .