Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 80631B по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 80631B

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 15

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: сравнить формулы объёмов вписанного конуса и шара.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Конус вписан в шар, радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен $60$ .

Нужно найти: объём конуса.

План решения: Определим высоту конуса через радиус шара, сравним формулы объёмов и применим отношение $4:1$ .

Поясняющая формула

V_{\text{шара}}=\dfrac{4}{3}\pi R^3

V_{\text{кон}}=\dfrac{1}{3}\pi r^2h

В этой конфигурации $r=R$ и $h=R$ , поэтому объём шара в $4$ раза больше объёма конуса.

Шаг 1. Свяжем размеры фигур

Радиус основания конуса равен радиусу шара $R$ , поэтому основание конуса является большим кругом шара. Высота конуса также равна $R$ :

r=R,\qquad h=R

Шаг 2. Сравним формулы объёмов

V_{\text{шара}}=\dfrac{4}{3}\pi R^3

V_{\text{кон}}=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{1}{3}\pi R^3

Следовательно,

V_{\text{шара}}:V_{\text{кон}}=4:1

Шаг 3. Найдём объём конуса

V_{\text{кон}}=60\div4=15

Ответ:

15

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .