Дана правильная треугольная призма $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $B$ , $C$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ .

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 370392 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 370392

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 16

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: вычесть из объёма призмы пирамиду с одной отсутствующей вершиной.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Площадь основания правильной треугольной призмы равна $4$ , боковое ребро равно $6$ . Искомый многогранник получается удалением одной пирамиды.

Нужно найти: объём оставшегося многогранника.

План решения: Найдём объём всей призмы, затем объём не входящей в фигуру пирамиды и выполним вычитание.

Поясняющая формула

V_{\text{пр}}=S_{\text{осн}}h,\qquad V_{\text{пир}}=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h

V_{\text{иск}}=V_{\text{пр}}-V_{\text{пир}}

Призма и удаляемая пирамида имеют общее основание и одинаковую высоту.

Шаг 1. Найдём объём всей призмы

V_{\text{пр}}=S_{\text{осн}}h

V_{\text{пр}}=4\cdot6=24

Шаг 2. Найдём объём удалённой пирамиды

У пирамиды то же основание и та же высота, поэтому её объём в три раза меньше объёма призмы:

V_{\text{пир}}=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h

V_{\text{пир}}=\dfrac{24}{3}=8

Шаг 3. Вычтем объём пирамиды

V_{\text{иск}}=24-8=16

Ответ:

16

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .