Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 5.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 0989E5 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0989E5

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 20

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: восстановить объём по отношению 1 : 4.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Объём отсечённой треугольной призмы равен $5$ . Сечение проведено через среднюю линию основания параллельно боковому ребру.

Нужно найти: объём исходной призмы.

План решения: Определим, какую долю объёма составляет отсечённая призма, и восстановим полный объём.

Поясняющая формула

V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}\cdot h

Высоты исходной и отсечённой призм одинаковы. Поэтому отношение объёмов определяется только отношением площадей их оснований.

Шаг 1. Сравним основания

Средняя линия создаёт треугольник с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ . Поэтому площадь малого основания составляет

\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}

площади исходного основания.

Шаг 2. Сравним объёмы

Высоты призм одинаковы, поэтому отсечённая призма занимает четверть полного объёма:

V_{\text{мал}}=\dfrac{1}{4}V_{\text{исх}}

Отсюда

V_{\text{исх}}=4V_{\text{мал}}

Шаг 3. Подставим известный объём

V_{\text{исх}}=4\cdot5=20

Ответ:

20

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .