Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9 $2$ . Найдите радиус сферы.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ DB4Ae5 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: DB4Ae5

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 9

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: использовать прямоугольный треугольник из радиуса, высоты и образующей.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Образующая конуса равна $l=9\sqrt{2}$ . Центр описанной сферы совпадает с центром основания конуса.

Нужно найти: радиус сферы $R$ .

План решения: Выразим радиус основания и высоту конуса через $R$ , затем используем теорему Пифагора.

Поясняющая формула

l^2=r^2+h^2

l=\sqrt{r^2+h^2}

В осевом сечении радиус основания $r$ и высота $h$ — катеты, а образующая $l$ — гипотенуза. По условию $r=h=R$ .

Шаг 1. Свяжем размеры конуса и сферы

Радиус основания конуса и его высота равны радиусу сферы:

r=R,\qquad h=R

Шаг 2. Выразим образующую

l=\sqrt{r^2+h^2}

l=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}

Шаг 3. Найдём радиус

9\sqrt{2}=R\sqrt{2}

Делим обе части на $\sqrt{2}$ :

R=\dfrac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=9

Ответ:

9

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .