Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 $2$ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ cD7468 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: cD7468

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: выразить боковые поверхности через общий радиус.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту, причём $h=r$ . Площадь боковой поверхности цилиндра равна $3\sqrt{2}$ .

Нужно найти: площадь боковой поверхности конуса.

План решения: Найдём образующую конуса, запишем площади боковых поверхностей обеих фигур и получим отношение этих площадей.

Поясняющая формула

l=\sqrt{r^2+h^2}

S_{\text{бок.цил}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{бок.кон}}=\pi rl

Здесь $r$ — радиус общего основания, $h$ — общая высота, а $l$ — образующая конуса.

Шаг 1. Найдём образующую конуса

В осевом сечении радиус $r$ , высота $h$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник. По условию $h=r$ , поэтому

l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2r^2}=r\sqrt{2}

Шаг 2. Сравним площади боковых поверхностей

Для цилиндра

S_{\text{цил}}=2\pi rh=2\pi r^2

Для конуса

S_{\text{кон}}=\pi rl=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}

Находим отношение:

\dfrac{S_{\text{кон}}}{S_{\text{цил}}}=\dfrac{\pi r^2\sqrt{2}}{2\pi r^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Шаг 3. Вычислим площадь конуса

S_{\text{кон}}=3\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Так как $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ , получаем

S_{\text{кон}}=3\cdot\dfrac{2}{2}=3

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .