Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$ , $B$ , $C$ , $B_{1}$ правильной треугольной призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ E1E5D0 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E1E5D0

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: распознать пирамиду внутри треугольной призмы.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Площадь основания правильной треугольной призмы равна $3$ , боковое ребро равно $8$ . Указанные четыре вершины образуют пирамиду с основанием $ABC$ .

Нужно найти: объём указанного многогранника.

План решения: Распознаем пирамиду, определим её высоту и применим формулу объёма пирамиды.

Поясняющая формула

V_{\text{пир}}=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h

Здесь $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — перпендикулярная высота, опущенная на это основание.

Шаг 1. Определим основание и высоту

Точки $A$ , $B$ и $C$ образуют основание пирамиды. Его площадь дана:

S_{\text{осн}}=3

Четвёртая вершина лежит на верхнем основании призмы. В правильной призме боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому высота пирамиды равна боковому ребру:

h=8

Шаг 2. Запишем формулу объёма пирамиды

V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h

Множитель $\dfrac{1}{3}$ отличает объём пирамиды от объёма призмы с теми же основанием и высотой.

Шаг 3. Подставим значения

V=\dfrac{1}{3}\cdot3\cdot8

3\cdot8=24

V=\dfrac{24}{3}=8

Ответ:

8

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .