Задание 42 из 61Стереометрия

Линия №3 · Базовый уровень

В прямоугольном параллелепипеде $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B$ = 7, $BC$ = 6, $A A_{1}$ = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ .

Оригинальный рисунок задания ФИПИ B1EBED по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B1EBED

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 105

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: увидеть половину прямоугольного параллелепипеда.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Из прямоугольного параллелепипеда с измерениями $7$ , $6$ и $5$ выделен многогранник, занимающий половину параллелепипеда.

Нужно найти: объём выделенного многогранника.

План решения: Найдём объём всего прямоугольного параллелепипеда и разделим его пополам.

Поясняющая формула

V_{\text{паралл}}=a\cdot b\cdot h

V_{\text{иск}}=\dfrac{1}{2}V_{\text{паралл}}

Диагональ прямоугольной грани делит основание на два равных треугольника, поэтому выделенная треугольная призма занимает половину объёма параллелепипеда.

Шаг 1. Объясним, почему берётся половина объёма

Указанные шесть вершин образуют треугольную призму. Её основание получается делением прямоугольной грани диагональю на два равных треугольника.

Высота у треугольной призмы и параллелепипеда одинакова, поэтому объём искомой фигуры составляет

\dfrac{1}{2}V_{\text{паралл}}

Шаг 2. Найдём объём параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

V_{\text{паралл}}=abh

V_{\text{паралл}}=7\cdot6\cdot5=210

Шаг 3. Найдём половину объёма

V=\dfrac{210}{2}=105

Ответ:

105

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Не распознать пирамиду или призму, образованную указанными вершинами.
Забыть коэффициент $\frac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды или конуса.
Использовать линейный коэффициент подобия вместо квадрата для площадей.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите тип тела и его основание.
2Проверьте, какая длина является высотой.
3Сверьте коэффициенты в формуле и единицы результата.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №3Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1​B1​C1​D1​ известно, что AB = 7, BC = 6, AA1​ = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1​, B1​, C1​.