Задание 17 из 97Стереометрия

Линия №3

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $A_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , у которого $A B$ = 3, $A D$ = 9, $A A_{1}$ = 4.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 68281C по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 68281C

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 36

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: применить формулу объёма пирамиды с прямоугольным основанием.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

В прямоугольном параллелепипеде выделена пирамида с прямоугольным основанием со сторонами $3$ и $9$ и высотой $4$ .

Нужно найти: объём пирамиды.

План решения: Найдём площадь прямоугольного основания и подставим её вместе с высотой в формулу объёма пирамиды.

Поясняющая формула

S_{\text{осн}}=a\cdot b

V_{\text{пир}}=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot h

Здесь $a$ и $b$ — стороны прямоугольного основания, а $h$ — перпендикулярная высота пирамиды.

Шаг 1. Найдём площадь основания

Основание пирамиды — прямоугольник. Его площадь равна произведению смежных сторон:

S_{\text{осн}}=3\cdot9=27

Шаг 2. Запишем формулу объёма

Высота пирамиды совпадает с перпендикулярным ребром параллелепипеда:

h=4

V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн}}h

Шаг 3. Выполним вычисление

V=\dfrac{1}{3}\cdot27\cdot4

27\cdot4=108

V=\dfrac{108}{3}=36

Ответ:

36

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Не распознать пирамиду или призму, образованную указанными вершинами.
Забыть коэффициент $\frac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды или конуса.
Использовать линейный коэффициент подобия вместо квадрата для площадей.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Определите тип тела и его основание.
2
Проверьте, какая длина является высотой.
3
Сверьте коэффициенты в формуле и единицы результата.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №3

Все задания линии №3 →

СтереометрияПлощадь боковой поверхности треугольной призмы равна 48. Через среднюю линию основания…FIPI ID 91Be4D СтереометрияЦилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания…FIPI ID 37164B СтереометрияНайдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, C1 правильной…FIPI ID BE03FA СтереометрияВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 7, AA1 = 6. Найдите…FIPI ID ADF4FE СтереометрияШар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.FIPI ID 6D5AF2 СтереометрияНайдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1…FIPI ID 29FE0E

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №3Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A1​ прямоугольного параллелепипеда ABCDA1​B1​C1​D1​, у которого AB = 3, AD = 9, AA1​ = 4.