Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна 12. Найдите площадь поверхности шара.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ FcFB97 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: FcFB97

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 48

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: связать площадь большого круга с поверхностью шара.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна $12$ .

Нужно найти: площадь поверхности шара.

План решения: Распознаем сечение как большой круг и сравним его площадь с формулой поверхности шара.

Поясняющая формула

S_{\text{сеч}}=\pi r^2

S_{\text{шара}}=4\pi r^2

Сечение через центр является большим кругом радиуса $r$ , поэтому поверхность шара в $4$ раза больше площади этого сечения.

Шаг 1. Запишем площадь большого круга

Плоскость через центр шара даёт сечение радиуса $r$ , равного радиусу шара:

S_{\text{сеч}}=\pi r^2

\pi r^2=12

Шаг 2. Запишем площадь поверхности шара

S_{\text{шара}}=4\pi r^2

Она в $4$ раза больше площади большого круга.

Шаг 3. Вычислим площадь поверхности

S_{\text{шара}}=4\cdot12=48

Ответ:

48

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .