Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 11 раз, а высота останется прежней?

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 33B18F по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 33B18F

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 121

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: учесть квадрат изменения радиуса в формуле объёма.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Радиус основания конуса увеличивается в $11$ раз, высота остаётся прежней.

Нужно найти: во сколько раз увеличится объём конуса.

План решения: Определим зависимость объёма от квадрата радиуса и вычислим коэффициент изменения.

Поясняющая формула

V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h

\dfrac{V_2}{V_1}=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2

Высота не меняется, поэтому коэффициент изменения объёма равен квадрату коэффициента изменения радиуса.

Шаг 1. Запишем формулу объёма

V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h

При постоянной высоте объём прямо пропорционален $r^2$ .

Шаг 2. Увеличим радиус

r_2=11r_1

Тогда квадрат нового радиуса равен

r_2^2=(11r_1)^2=11^2r_1^2

Шаг 3. Найдём коэффициент увеличения

\dfrac{V_2}{V_1}=11^2=121

Следовательно, объём увеличится в $121$ раз.

Ответ:

121

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .