Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ B4FF85 по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B4FF85

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 12

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: использовать отношение объёмов шара и описанного цилиндра 2 : 3.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Цилиндр объёмом $18$ описан около шара.

Нужно найти: объём шара.

План решения: Выразим объёмы обеих фигур через радиус шара и применим найденное отношение.

Поясняющая формула

V_{\text{цил}}=\pi r^2h

V_{\text{шара}}=\dfrac{4}{3}\pi r^3

У цилиндра, описанного около шара, $h=2r$ . Подстановка этого равенства позволяет сравнить объёмы через один радиус $r$ .

Шаг 1. Свяжем размеры

Радиус цилиндра равен радиусу шара $r$ , а высота цилиндра равна диаметру шара:

h=2r

Шаг 2. Сравним объёмы

V_{\text{цил}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3

V_{\text{шара}}=\dfrac{4}{3}\pi r^3

\dfrac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цил}}}=\dfrac{\frac{4}{3}}{2}=\dfrac{2}{3}

Шаг 3. Вычислим объём шара

V_{\text{шара}}=18\cdot\dfrac{2}{3}

18\div3=6,\qquad 6\cdot2=12

Ответ:

12

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .