Задание 27 из 61Стереометрия

Линия №3 · Базовый уровень

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 54. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Оригинальный рисунок задания ФИПИ 2F9BDB по стереометрии, задание 3 ЕГЭ по профильной математике — Оригинальная запись формул из условия задания №3 ЕГЭ по профильной математике

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 2F9BDB

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 27

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В задачах линии 3 важно определить вид пространственного тела или его части, выбрать формулу объёма либо площади и аккуратно учесть отношение подобных фигур.

Ключевая идея: использовать подобие оснований и уменьшение периметра в 2 раза.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

Площадь боковой поверхности исходной треугольной призмы равна $54$ . Сечение проходит через среднюю линию основания и параллельно боковому ребру.

Нужно найти: площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

План решения: Определим коэффициент подобия оснований, выясним, как изменился их периметр, и применим это отношение к боковой поверхности.

Поясняющая формула

S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h

Здесь $P_{\text{осн}}$ — периметр основания призмы, а $h$ — длина бокового ребра. При одинаковом $h$ боковые поверхности относятся так же, как периметры оснований.

Шаг 1. Найдём коэффициент подобия

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Поэтому отсечённый треугольник подобен исходному основанию с коэффициентом

k=\dfrac{1}{2}

Значит, каждая сторона малого основания в $2$ раза меньше соответствующей стороны большого основания.

Шаг 2. Сравним боковые поверхности призм

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро:

S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}h

Боковое ребро после отсечения не меняется, а периметр основания уменьшается в $2$ раза. Следовательно,

S_{\text{мал}}=\dfrac{1}{2}S_{\text{исх}}

Шаг 3. Вычислим искомую площадь

S_{\text{мал}}=54\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{54}{2}=27

Площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна $27$ .

Ответ:

27

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Объём пирамиды и конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
При подобии с коэффициентом k площади относятся как k $^{2}$ , а объёмы — как k $^{3}$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Не распознать пирамиду или призму, образованную указанными вершинами.
Забыть коэффициент $\frac{1}{3}$ в формуле объёма пирамиды или конуса.
Использовать линейный коэффициент подобия вместо квадрата для площадей.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Определите тип тела и его основание.
2Проверьте, какая длина является высотой.
3Сверьте коэффициенты в формуле и единицы результата.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №3Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена