Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ BD04435 из 262

Биссектриса равностороннего треугольника по стороне

Сторона равностороннего треугольника равна 10 3 . Найдите биссектрису этого треугольника.

Рисунок из условия ФИПИ BD0443

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание BD0443.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 15.

Что нужно найти

Биссектриса равностороннего треугольника по стороне

Идея решения

В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса из одной вершины совпадают. Проведём отрезок BH к стороне AC: он делит треугольник на два равных прямоугольных. Через теорему Пифагора получим связь высоты и стороны.

Треугольник
Все три стороны равны
Известно
Сторона 10310\sqrt{3}
Найти
биссектрису

Строим прямоугольную половину треугольника

Обозначим сторону через a. Введём H — середину AC. Отрезок BH является одновременно медианой, высотой и биссектрисой. Поэтому угол BHA прямой, AH — половина AC, а AB — целая сторона.

  • AB = a
  • AH = a / 2
  • BH = h
  • ∠BHA = 90°
AHAH=a2=\frac a2
ABAB=a,BH=a,\quad BH
=h=h

В треугольнике ABH гипотенуза AB лежит напротив прямого угла.

Зелёным выделен отрезок BH: высота, медиана и биссектриса

Зелёным выделен отрезок BH: высота, медиана и биссектриса. Основание AC разделено на две равные части.
Обозначения на чертеже
  • AB = a
  • AH = a / 2
  • BH = h
  • ∠BHA = 90°
Зелёным выделен отрезок BH: высота, медиана и биссектриса. Основание AC разделено на две равные части.
Открыть схему крупнее ↗

Выводим формулу, а не просто запоминаем её

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Перенесём квадрат половины стороны вправо и приведём дроби к общему знаменателю.

  • AB = a
  • AH = a / 2
  • BH = h
h2h^2+(a2)2+\left(\frac a2\right)^2=a2=a^2
h2h^2=a2=a^2−a24-\frac{a^2}{4}
=4a2−a24=\frac{4a^2-a^2}{4}
=3a24=\frac{3a^2}{4}
hh=a32=\frac{a\sqrt3}{2}

Сторона и высота положительны, поэтому при извлечении корня знак минус не берём.

Подставляем длину стороны

Вместо a подставляем 10310\sqrt{3}. Корни перемножаются, а знаменатель 2 остаётся.

  • AB = a
  • AH = a / 2
  • BH = h
hh=103⋅32=\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}
=10⋅32=\frac{10\cdot3}{2}
=302=\frac{30}{2}

Считаем числитель: 10⋅3=3010\cdot3=30.

=15=15

Умножение корней убирает знак корня: 3⋅3=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.

Проверяем по теореме Пифагора

Половина основания равна 535 \sqrt{3}. Сумма квадратов этой половины и найденной высоты должна равняться квадрату стороны.

532{5 \sqrt{3}}^{2}+152+{15}^{2}
=300=300
1032{10 \sqrt{3}}^{2}=300=300

Оба результата одинаковы. Найденная длина подходит.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

1515

Ответ: 15.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаБиссектриса равностороннего треугольника по стороне
Ответ1515

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте сторону буквой a, а высоту буквой h.
  2. Разделите основание пополам: каждый отрезок равен a/2a/2.
  3. В одной половине треугольника примените теорему Пифагора.
  4. Используйте h=a32h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} и найдите неизвестную величину.
  5. Проверьте результат подстановкой в исходную связь.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Равносторонний треугольник имеет три равные стороны и три угла по 60°.
  • Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Высота перпендикулярна этой стороне. Биссектриса делит угол пополам.
  • Эти три отрезка совпадают именно в равностороннем треугольнике.
  • 3⋅3=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте высоту с половиной стороны: в прямоугольной половине это разные катеты.
  • Не сокращайте корень в сумме: здесь он сокращается как общий ненулевой множитель.
  • После извлечения корня берите положительную длину.
Все задания №15 (262)