Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ 757BB568 из 262

Катет AC по тангенсу угла B

Рисунок из условия ФИПИ 757BB5

В треугольнике ABC  угол C  равен 90° , tgB= 3 5 , BC=30 . Найдите AC .

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 757BB5.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 18.

Что нужно найти

Катет AC по тангенсу угла B

Идея решения

Все названия сторон определяем относительно угла B. AC находится напротив него, BC примыкает к нему, AB — гипотенуза. Тангенс — отношение противолежащего катета AC к прилежащему катету BC. Из отношения выразим неизвестный катет умножением.

Прямой угол
90∘90^\circ при вершине C
Известные данные
tg⁡B=35\operatorname{tg} B=\dfrac{3}{5}, BC=30BC=30
Найти
AC

Находим нужные стороны относительно угла B

Угол C прямой, поэтому AB — гипотенуза. Катет AC находится напротив угла B. Катет BC образует угол B вместе с гипотенузой, значит, BC — прилежащий катет.

  • AC — напротив B
  • BC — рядом с B
  • AB — гипотенуза

Эти названия относятся именно к углу B; для угла A катеты поменяются ролями.

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.
Обозначения на чертеже
  • AC — напротив B
  • BC — рядом с B
  • AB — гипотенуза
  • Угол B выделен дугой
Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.
Открыть схему крупнее ↗

Выбираем определение

По определению тангенс угла B равен отношению противолежащего катета AC к прилежащему катету BC. Поэтому в числитель ставим AC, а в знаменатель — BC.

  • AC — напротив B
  • BC — рядом с B
tg⁡B\operatorname{tg} B=ACBC=\frac{AC}{BC}

Формула показывает, какую длину на какую нужно делить.

Выражаем неизвестную сторону

Из равенства «отношение = катет / известная сторона» умножаем обе части на BC. Знаменатель в правой части сокращается.

  • AC — напротив B
  • BC — рядом с B
tg⁡B\operatorname{tg} B=ACBC=\frac{AC}{BC}
ACAC=BC=BC⋅tg⁡B\cdot\operatorname{tg} B

Именно поэтому заданное отношение нужно умножить на известную сторону.

Подставляем данные и вычисляем

Подставляем BC=30BC=30 и tg⁡B=35\operatorname{tg} B=\dfrac{3}{5}. Умножение на дробь означает умножение на числитель и деление на знаменатель.

  • AC — напротив B
  • BC — рядом с B
ACAC=30=30⋅35\cdot\frac{3}{5}
=30⋅35=\frac{30\cdot3}{5}
=905=\frac{90}{5}

Считаем числитель: 30⋅3=9030\cdot3=90.

=18=18

Сначала удобно разделить 30 на 5, затем умножить на 3.

Проверяем по исходному определению

Разделим найденный катет на известную сторону. Должна получиться дробь из условия.

1830\frac{18}{30}
=18:630:6=\frac{18:6}{30:6}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 6.

=35=\frac{3}{5}

Исходное отношение восстановилось, поэтому длина найдена верно.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

1818

Ответ: 18.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаКатет AC по тангенсу угла B
Ответ1818

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите прямой угол C; напротив него лежит гипотенуза AB.
  2. Для угла B обозначьте противолежащий катет AC и прилежащий катет BC.
  3. Запишите определение: tg⁡B=ACBC\operatorname{tg} B=\dfrac{AC}{BC}.
  4. Умножьте известную сторону на заданное отношение.
  5. Проверьте отношение сторон и запишите число.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Гипотенуза находится напротив прямого угла.
  • Названия «прилежащий» и «противолежащий» зависят от выбранного острого угла.
  • sin⁡B=ACAB\sin B=\dfrac{AC}{AB}, cos⁡B=BCAB\cos B=\dfrac{BC}{AB}, tg⁡B=ACBC\operatorname{tg} B=\dfrac{AC}{BC}.
  • Синус и косинус острого угла меньше 1. Тангенс может быть как меньше, так и больше 1.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не меняйте числитель и знаменатель местами: получите обратную величину.
  • В тангенсе участвуют два катета; в синусе и косинусе в знаменателе стоит гипотенуза.
  • Угол B измеряется в градусах, а его синус, косинус и тангенс являются отношениями длин.
  • Переходя к десятичной записи, не округляйте точный ответ.
Все задания №15 (262)