Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ B8232F245 из 262

Угол треугольника с биссектрисой и равными отрезками

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если Угол C равен 25° и AK = CK.

Треугольник ABC с биссектрисой AK и равными отрезками AK и CK

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание B8232F.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 105.

Что нужно найти

Угол треугольника с биссектрисой и равными отрезками

Идея решения

Равенство AK = CK делает треугольник AKC равнобедренным. Найдём половину угла A, затем весь угол A по свойству биссектрисы и, наконец, угол B по сумме углов ABC.

Биссектриса
AK, точка K лежит на BC
Равные отрезки
AK=CKAK=CK
Угол C
25∘25^\circ
Найти
угол B

Рассматриваем равнобедренный треугольник AKC

AK = CK. Напротив AK лежит угол ACK, а напротив CK — угол KAC. Они равны. Поскольку K лежит на BC, угол ACK — это данный угол C.

  • AK = CK
  • ∠ACK = 25°
  • ∠BAK = ∠KAC
∠KAC\angle KAC=∠ACK=\angle ACK
=25∘=25^\circ

Мы нашли одну из половин угла A.

Зелёным выделены равные отрезки AK и CK

Зелёным выделены равные отрезки AK и CK. Две дуги при A отмечают равные половины угла, разделённого биссектрисой.
Обозначения на чертеже
  • AK = CK
  • ∠ACK = 25°
  • ∠BAK = ∠KAC
  • Ищем угол B
Зелёным выделены равные отрезки AK и CK. Две дуги при A отмечают равные половины угла, разделённого биссектрисой.
Открыть схему крупнее ↗

Восстанавливаем полный угол A

AK — биссектриса, значит, угол BAK равен углу KAC. Складываем две одинаковые половины.

  • AK = CK
  • ∠BAK = ∠KAC
∠BAK\angle BAK=∠KAC=\angle KAC
∠BAC\angle BAC=25=25+25+25
=50∘=50^\circ

Угол A равен 50°, а не 25°.

Находим угол B в исходном треугольнике

Теперь известны два угла ABC: угол A равен 50°, угол C равен 25°. Вычтем их из 180°.

∠ABC\angle ABC=180=180−50-50−25-25
=130=130−25-25

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=105∘=105^\circ

Получено то, что требуется в вопросе.

Проверяем через треугольник ABK

В AKC угол AKC равен 180° − 2C. Углы AKC и AKB смежные, поэтому угол AKB равен 2C. Тогда угол B в треугольнике ABK должен совпасть с найденным.

∠AKC\angle AKC=180=180−25-25−25-25
=155=155−25-25

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=130∘=130^\circ
∠AKB\angle AKB=180=180−130-130
=50∘=50^\circ
∠ABK\angle ABK=180=180−25-25−50-50
=155=155−50-50

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=105∘=105^\circ

Оба пути решения дали один и тот же угол B.

Записываем ответ

Угол найден; его величина выражена в градусах. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

105105

Ответ: 105.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаУгол треугольника с биссектрисой и равными отрезками
Ответ105∘105^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. В AKC найдите углы напротив равных сторон AK и CK.
  2. По биссектрисе AK удвойте угол KAC, чтобы получить угол A.
  3. Вычтите углы A и C из 180°.
  4. Проверьте ответ через маленький треугольник ABK.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  • Биссектриса AK делит угол BAC на два равных угла.
  • Если K лежит на BC, луч CK совпадает с лучом CB.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Равны AK и CK, поэтому равны углы напротив них — KCA и KAC.
  • Угол KAC — только половина угла A; не подставляйте его как весь угол BAC.
  • Не считайте K серединой BC: биссектриса не обязана делить сторону пополам.
Все задания №15 (262)