Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ D8DE1091 из 262

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Рисунок из условия ФИПИ D8DE10

В треугольнике ABC  известно, что AB=6 , BC=10 , sin∠ABC= 1 3 . Найдите площадь треугольника ABC .

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D8DE10.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 10.

Что нужно найти

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Идея решения

В формуле площади через две стороны нужен синус угла именно между ними. Стороны AB и BC сходятся в B, поэтому заданный синус подходит. Покажем, откуда берётся формула: высота равна AB · sin B, а площадь — половине произведения основания на высоту.

Известные величины
AB=6AB=6, BC=10BC=10
Дополнительное условие
sin⁡B=13\sin B=\dfrac{1}{3}
Найти
площадь S

Проверяем, какой угол дан

Стороны AB и BC имеют общую вершину B, значит, угол ABC расположен между ними. Его синус известен, поэтому можно использовать формулу площади через две стороны.

  • AB = 6
  • BC = 10
  • AH = AB · sin B
SS=AB⋅BC⋅sin⁡B2=\frac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}

Угол может быть острым или тупым: формула верна в обоих случаях.

Высота AH перпендикулярна прямой BC

Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.
Обозначения на чертеже
  • AB = 6
  • BC = 10
  • sin B = 1/3
  • AH = AB · sin B
Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.
Открыть схему крупнее ↗

Объясняем происхождение формулы

Возьмём BC за основание и проведём высоту AH к прямой BC. В прямоугольном треугольнике высота выражается через синус: AH=AB⋅sin⁡BAH=AB\cdot\sin B. При тупом B основание высоты находится на продолжении BC, а синус смежного острого угла равен синусу B.

  • AB = 6
  • BC = 10
  • AH = AB · sin B
SS=BC⋅AH2=\frac{BC\cdot AH}{2}
SS=BC⋅AB⋅sin⁡B2=\frac{BC\cdot AB\cdot\sin B}{2}

Подставили выражение высоты в обычную формулу площади.

Подставляем каждое число на своё место

Вместо AB ставим 6, вместо BC — 10, а вместо синуса — дробь 13\dfrac{1}{3}.

  • AB = 6
  • BC = 10
  • AH = AB · sin B
SS=6⋅10⋅132=\frac{6\cdot10\cdot\frac{1}{3}}{2}
=6⋅10⋅12⋅3=\frac{6\cdot10\cdot1}{2\cdot3}
=606=\frac{60}{6}

Считаем числитель: 6⋅10⋅1=606\cdot10\cdot1=60. Считаем знаменатель: 2⋅3=62\cdot3=6.

=10=10

Общий знаменатель равен 2 · 3. Умножение на дробь означает умножение на её числитель и деление на знаменатель.

Проверяем через высоту

Отдельно найдём высоту, а затем площадь через основание и высоту.

  • AH = AB · sin B
AHAH=6=6⋅13\cdot\frac{1}{3}
=6⋅13=\frac{6\cdot1}{3}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=63=\frac{6}{3}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=2=2
SS=10⋅22=\frac{10\cdot2}{2}
=202=\frac{20}{2}

Считаем числитель: 10⋅2=2010\cdot2=20.

=10=10

Оба способа дали одинаковую площадь.

Записываем ответ

Площадь найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

1010

Ответ: 10.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь по двум сторонам и синусу угла между ними
Ответ1010

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Выберите основание и перпендикулярную ему высоту.
  2. По синусу угла найдите высоту или сразу примените формулу половины произведения сторон и синуса угла между ними.
  3. Подставьте числа в формулу площади.
  4. Перемножьте и разделите на 2.
  5. Проверьте вычисление обратным действием.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • S=ah2S=\dfrac{ah}{2} — площадь через основание a и высоту h.
  • Высота должна быть перпендикулярна основанию.
  • S=12AB⋅BC⋅sin⁡BS=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B — формула через стороны и угол между ними.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не забывайте множитель 1/2: произведение основания и высоты даёт удвоенную площадь.
  • Не перемножайте произвольные стороны как основание и высоту: они должны быть перпендикулярны.
  • Не используйте синус угла, который не лежит между выбранными сторонами.
Все задания №15 (262)