Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ 86F9F529 из 262

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Рисунок из условия ФИПИ 86F9F5

В треугольнике ABC  известно, что AB=12 , BC=15 , sin∠ABC= 4 9 . Найдите площадь треугольника ABC .

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 86F9F5.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 40.

Что нужно найти

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Идея решения

В формуле площади через две стороны нужен синус угла именно между ними. Стороны AB и BC сходятся в B, поэтому заданный синус подходит. Покажем, откуда берётся формула: высота равна AB · sin B, а площадь — половине произведения основания на высоту.

Известные величины
AB=12AB=12, BC=15BC=15
Дополнительное условие
sin⁡B=49\sin B=\dfrac{4}{9}
Найти
площадь S

Проверяем, какой угол дан

Стороны AB и BC имеют общую вершину B, значит, угол ABC расположен между ними. Его синус известен, поэтому можно использовать формулу площади через две стороны.

  • AB = 12
  • BC = 15
  • AH = AB · sin B
SS=AB⋅BC⋅sin⁡B2=\frac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}

Угол может быть острым или тупым: формула верна в обоих случаях.

Высота AH перпендикулярна прямой BC

Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.
Обозначения на чертеже
  • AB = 12
  • BC = 15
  • sin B = 4/9
  • AH = AB · sin B
Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.
Открыть схему крупнее ↗

Объясняем происхождение формулы

Возьмём BC за основание и проведём высоту AH к прямой BC. В прямоугольном треугольнике высота выражается через синус: AH=AB⋅sin⁡BAH=AB\cdot\sin B. При тупом B основание высоты находится на продолжении BC, а синус смежного острого угла равен синусу B.

  • AB = 12
  • BC = 15
  • AH = AB · sin B
SS=BC⋅AH2=\frac{BC\cdot AH}{2}
SS=BC⋅AB⋅sin⁡B2=\frac{BC\cdot AB\cdot\sin B}{2}

Подставили выражение высоты в обычную формулу площади.

Подставляем каждое число на своё место

Вместо AB ставим 12, вместо BC — 15, а вместо синуса — дробь 49\dfrac{4}{9}.

  • AB = 12
  • BC = 15
  • AH = AB · sin B
SS=12⋅15⋅492=\frac{12\cdot15\cdot\frac{4}{9}}{2}
=12⋅15⋅42⋅9=\frac{12\cdot15\cdot4}{2\cdot9}
=72018=\frac{720}{18}

Считаем числитель: 12⋅15⋅4=72012\cdot15\cdot4=720. Считаем знаменатель: 2⋅9=182\cdot9=18.

=40=40

Общий знаменатель равен 2 · 9. Умножение на дробь означает умножение на её числитель и деление на знаменатель.

Проверяем через высоту

Отдельно найдём высоту, а затем площадь через основание и высоту.

  • AH = AB · sin B
AHAH=12=12⋅49\cdot\frac{4}{9}
=12⋅49=\frac{12\cdot4}{9}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=489=\frac{48}{9}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=163=\frac{16}{3}
SS=15⋅1632=\frac{15\cdot\frac{16}{3}}{2}
=802=\frac{80}{2}

Считаем числитель: 15⋅163=8015\cdot\dfrac{16}{3}=80.

=40=40

Оба способа дали одинаковую площадь.

Записываем ответ

Площадь найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

4040

Ответ: 40.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь по двум сторонам и синусу угла между ними
Ответ4040

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Выберите основание и перпендикулярную ему высоту.
  2. По синусу угла найдите высоту или сразу примените формулу половины произведения сторон и синуса угла между ними.
  3. Подставьте числа в формулу площади.
  4. Перемножьте и разделите на 2.
  5. Проверьте вычисление обратным действием.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • S=ah2S=\dfrac{ah}{2} — площадь через основание a и высоту h.
  • Высота должна быть перпендикулярна основанию.
  • S=12AB⋅BC⋅sin⁡BS=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin B — формула через стороны и угол между ними.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не забывайте множитель 1/2: произведение основания и высоты даёт удвоенную площадь.
  • Не перемножайте произвольные стороны как основание и высоту: они должны быть перпендикулярны.
  • Не используйте синус угла, который не лежит между выбранными сторонами.
Все задания №15 (262)