Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Question

В треугольнике $A B C$ известно, что $A B = 15$ , $B C = 8$ , $\sin ∠ A B C = \frac{5}{6}$ . Найдите площадь треугольника $A B C$ .

Answer 1

Что нужно найти

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Идея решения

В формуле площади через две стороны нужен синус угла именно между ними. Стороны AB и BC сходятся в B, поэтому заданный синус подходит. Покажем, откуда берётся формула: высота равна AB · sin B, а площадь — половине произведения основания на высоту.

Известные величины: $AB=15$ , $BC=8$
Дополнительное условие: $\sin B=\dfrac{5}{6}$
Найти: площадь S

Проверяем, какой угол дан

Стороны AB и BC имеют общую вершину B, значит, угол ABC расположен между ними. Его синус известен, поэтому можно использовать формулу площади через две стороны.

AB = 15
BC = 8
AH = AB · sin B

S

=\frac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}

Угол может быть острым или тупым: формула верна в обоих случаях.

Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.

Объясняем происхождение формулы

Возьмём BC за основание и проведём высоту AH к прямой BC. В прямоугольном треугольнике высота выражается через синус: $AH=AB\cdot\sin B$ . При тупом B основание высоты находится на продолжении BC, а синус смежного острого угла равен синусу B.

AB = 15
BC = 8
AH = AB · sin B

S

=\frac{BC\cdot AH}{2}

S

=\frac{BC\cdot AB\cdot\sin B}{2}

Подставили выражение высоты в обычную формулу площади.

Подставляем каждое число на своё место

Вместо AB ставим 15, вместо BC — 8, а вместо синуса — дробь $\dfrac{5}{6}$ .

AB = 15
BC = 8
AH = AB · sin B

S

=\frac{15\cdot8\cdot\frac{5}{6}}{2}

=\frac{15\cdot8\cdot5}{2\cdot6}

=\frac{600}{12}

Считаем числитель: $15\cdot8\cdot5=600$ . Считаем знаменатель: $2\cdot6=12$ .

=50

Общий знаменатель равен 2 · 6. Умножение на дробь означает умножение на её числитель и деление на знаменатель.

Проверяем через высоту

Отдельно найдём высоту, а затем площадь через основание и высоту.

AH = AB · sin B

AH

=15

\cdot\frac{5}{6}

=\frac{15\cdot5}{6}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{75}{6}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=12{,}5

S

=\frac{8\cdot12{,}5}{2}

=\frac{100}{2}

Считаем числитель: $8\cdot12{,}5=100$ .

=50

Оба способа дали одинаковую площадь.

Записываем ответ

Площадь найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

50

Ответ: 50.

Answer 2

Что нужно найти

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Answer 3

Идея решения

В формуле площади через две стороны нужен синус угла именно между ними. Стороны AB и BC сходятся в B, поэтому заданный синус подходит. Покажем, откуда берётся формула: высота равна AB · sin B, а площадь — половине произведения основания на высоту.

Answer 4

Известные величины

AB=15

,

BC=8

Дополнительное условие

\sin B=\dfrac{5}{6}

Найти

площадь S

Answer 5

Проверяем, какой угол дан

Стороны AB и BC имеют общую вершину B, значит, угол ABC расположен между ними. Его синус известен, поэтому можно использовать формулу площади через две стороны.

AB = 15
BC = 8
AH = AB · sin B

S

=\frac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}

Угол может быть острым или тупым: формула верна в обоих случаях.

Answer 6

Почему это работает

В формуле площади через две стороны берут синус угла именно между этими сторонами.

Answer 7

AB = 15

BC = 8

AH = AB · sin B

Answer 8

S

=\frac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}

Answer 9

S

=\frac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}

Answer 10

Угол может быть острым или тупым: формула верна в обоих случаях.

Answer 11

Высота AH перпендикулярна прямой BC

$Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.$

Обозначения на чертеже

AB = 15
BC = 8
sin B = 5/6
AH = AB · sin B

Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.

Открыть схему крупнее ↗

Answer 12

$Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.$

Обозначения на чертеже

AB = 15
BC = 8
sin B = 5/6
AH = AB · sin B

Answer 13

$Высота AH перпендикулярна прямой BC. Показан острый угол B; при тупом угле с тем же синусом площадь такая же.$

Answer 14

Обозначения на чертеже

AB = 15
BC = 8
sin B = 5/6
AH = AB · sin B

Answer 15

Открыть схему крупнее ↗

Answer 16

Объясняем происхождение формулы

Возьмём BC за основание и проведём высоту AH к прямой BC. В прямоугольном треугольнике высота выражается через синус: $AH=AB\cdot\sin B$ . При тупом B основание высоты находится на продолжении BC, а синус смежного острого угла равен синусу B.

AB = 15
BC = 8
AH = AB · sin B

S

=\frac{BC\cdot AH}{2}

S

=\frac{BC\cdot AB\cdot\sin B}{2}

Подставили выражение высоты в обычную формулу площади.

Answer 17

AB = 15

BC = 8

AH = AB · sin B

Answer 18

S

=\frac{BC\cdot AH}{2}

S

=\frac{BC\cdot AB\cdot\sin B}{2}

Answer 19

S

=\frac{BC\cdot AH}{2}

Answer 20

S

=\frac{BC\cdot AB\cdot\sin B}{2}

Answer 21

Подставили выражение высоты в обычную формулу площади.

Answer 22

Подставляем каждое число на своё место

Вместо AB ставим 15, вместо BC — 8, а вместо синуса — дробь $\dfrac{5}{6}$ .

AB = 15
BC = 8
AH = AB · sin B

S

=\frac{15\cdot8\cdot\frac{5}{6}}{2}

=\frac{15\cdot8\cdot5}{2\cdot6}

=\frac{600}{12}

Считаем числитель: $15\cdot8\cdot5=600$ . Считаем знаменатель: $2\cdot6=12$ .

=50

Общий знаменатель равен 2 · 6. Умножение на дробь означает умножение на её числитель и деление на знаменатель.

Answer 23

AB = 15

BC = 8

AH = AB · sin B

Answer 24

S

=\frac{15\cdot8\cdot\frac{5}{6}}{2}

=\frac{15\cdot8\cdot5}{2\cdot6}

=\frac{600}{12}

Считаем числитель: $15\cdot8\cdot5=600$ . Считаем знаменатель: $2\cdot6=12$ .

=50

Answer 25

S

=\frac{15\cdot8\cdot\frac{5}{6}}{2}

Answer 26

=\frac{15\cdot8\cdot5}{2\cdot6}

Answer 27

=\frac{600}{12}

Считаем числитель: $15\cdot8\cdot5=600$ . Считаем знаменатель: $2\cdot6=12$ .

Answer 28

Считаем числитель:

15\cdot8\cdot5=600

. Считаем знаменатель:

2\cdot6=12

.

Answer 29

Общий знаменатель равен 2 · 6. Умножение на дробь означает умножение на её числитель и деление на знаменатель.

Answer 30

Проверяем через высоту

Отдельно найдём высоту, а затем площадь через основание и высоту.

AH = AB · sin B

AH

=15

\cdot\frac{5}{6}

=\frac{15\cdot5}{6}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{75}{6}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=12{,}5

S

=\frac{8\cdot12{,}5}{2}

=\frac{100}{2}

Считаем числитель: $8\cdot12{,}5=100$ .

=50

Оба способа дали одинаковую площадь.

Answer 31

AH = AB · sin B

Answer 32

AH

=15

\cdot\frac{5}{6}

=\frac{15\cdot5}{6}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{75}{6}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=12{,}5

S

=\frac{8\cdot12{,}5}{2}

=\frac{100}{2}

Считаем числитель: $8\cdot12{,}5=100$ .

=50

Answer 33

AH

=15

\cdot\frac{5}{6}

Answer 34

=\frac{15\cdot5}{6}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

Answer 35

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

Answer 36

=\frac{75}{6}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

Answer 37

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

Answer 38

S

=\frac{8\cdot12{,}5}{2}

Answer 39

=\frac{100}{2}

Считаем числитель: $8\cdot12{,}5=100$ .

Answer 40

Считаем числитель:

8\cdot12{,}5=100

.

Answer 41

Оба способа дали одинаковую площадь.

Answer 42

Записываем ответ

Площадь найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

50

Ответ: 50.

Answer 43

Ответ: 50.

Что проверяем	Результат
Искомая величина	Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними
Ответ	$50$

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Разбираем шаг за шагом

Проверяем, какой угол дан

Высота AH перпендикулярна прямой BC

Объясняем происхождение формулы

Подставляем каждое число на своё место

Проверяем через высоту

Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Площадь по двум сторонам и синусу угла между ними

Разбираем шаг за шагом

1Проверяем, какой угол дан

Высота AH перпендикулярна прямой BC

2Объясняем происхождение формулы

3Подставляем каждое число на своё место

4Проверяем через высоту

5Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Проверяем, какой угол дан

Объясняем происхождение формулы

Подставляем каждое число на своё место

Проверяем через высоту

Записываем ответ