Катет по гипотенузе и другому катету

Question

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

$Математическая запись из условия ФИПИ 760845$

Answer 1

Что нужно найти

Катет по гипотенузе и другому катету

Идея решения

Сначала отличим гипотенузу от катетов: гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Затем применим теорему Пифагора и отдельно вычислим квадраты, их разность и положительный квадратный корень.

Тип треугольника: Прямоугольный
Дано: $a=40$ , $c=41$
Найти: катет b

Разбираемся, какие стороны известны

Обозначим катеты a и b, а гипотенузу c. Катеты образуют прямой угол. Известны катет $a=40$ и гипотенуза $c=41$ . Ищем второй катет b.

AC = a = 40
BC = b = ?
AB = c = 41

c^2

=a^2

+b^2

На поясняющем чертеже синим показаны катеты, зелёным — гипотенуза.

Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.

Вычисляем квадраты известных сторон

Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя. Посчитаем каждый квадрат отдельно.

{40}^{2}

=40

\cdot40

=1600

{41}^{2}

=41

\cdot41

=1681

Теперь подставим результаты в теорему Пифагора.

Находим квадрат неизвестного катета

Из равенства $a^2+b^2=c^2$ вычитаем $a^2$ с обеих сторон. Из большего квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

AC = a = 40
BC = b = ?
AB = c = 41

b^2

=c^2

-a^2

b^2

=1681

-1600

=81

Положительная разность показывает, что такой катет возможен.

Извлекаем квадратный корень

Ищем положительное число, квадрат которого равен 81. Число 9 подходит: 9 · 9 = 81.

BC = b = ?

b

=\sqrt{81}

=9

Отрицательный корень не рассматриваем: длина стороны положительна.

Проверяем три стороны

Подставим найденную длину в исходную теорему. Кроме того, гипотенуза 41 должна быть больше и 40, и 9.

{40}^{2}

+{9}^{2}

=1600

+81

=1681

{41}^{2}

=1681

Квадраты совпали, а гипотенуза действительно длиннее каждого катета.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

9

Ответ: 9.

Answer 2

Что нужно найти

Катет по гипотенузе и другому катету

Answer 3

Идея решения

Сначала отличим гипотенузу от катетов: гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Затем применим теорему Пифагора и отдельно вычислим квадраты, их разность и положительный квадратный корень.

Answer 4

Тип треугольника

Прямоугольный

Дано

a=40

,

c=41

Найти

катет b

Answer 5

Разбираемся, какие стороны известны

Обозначим катеты a и b, а гипотенузу c. Катеты образуют прямой угол. Известны катет $a=40$ и гипотенуза $c=41$ . Ищем второй катет b.

AC = a = 40
BC = b = ?
AB = c = 41

c^2

=a^2

+b^2

На поясняющем чертеже синим показаны катеты, зелёным — гипотенуза.

Answer 6

Почему это работает

Из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета; затем извлекают положительный корень.

Answer 7

AC = a = 40

BC = b = ?

AB = c = 41

Answer 8

c^2

=a^2

+b^2

Answer 9

c^2

=a^2

+b^2

Answer 10

На поясняющем чертеже синим показаны катеты, зелёным — гипотенуза.

Answer 11

Катеты AC и BC образуют прямой угол

$Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.$

Обозначения на чертеже

AC = a = 40
BC = b = ?
AB = c = 41
Прямой угол — C

Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.

Открыть схему крупнее ↗

Answer 12

$Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.$

Обозначения на чертеже

AC = a = 40
BC = b = ?
AB = c = 41
Прямой угол — C

Answer 13

$Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.$

Answer 14

Обозначения на чертеже

AC = a = 40
BC = b = ?
AB = c = 41
Прямой угол — C

Answer 15

Открыть схему крупнее ↗

Answer 16

Вычисляем квадраты известных сторон

Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя. Посчитаем каждый квадрат отдельно.

{40}^{2}

=40

\cdot40

=1600

{41}^{2}

=41

\cdot41

=1681

Теперь подставим результаты в теорему Пифагора.

Answer 17

{40}^{2}

=40

\cdot40

=1600

{41}^{2}

=41

\cdot41

=1681

Answer 18

{40}^{2}

=40

\cdot40

Answer 19

{41}^{2}

=41

\cdot41

Answer 20

Теперь подставим результаты в теорему Пифагора.

Answer 21

Находим квадрат неизвестного катета

Из равенства $a^2+b^2=c^2$ вычитаем $a^2$ с обеих сторон. Из большего квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

AC = a = 40
BC = b = ?
AB = c = 41

b^2

=c^2

-a^2

b^2

=1681

-1600

=81

Положительная разность показывает, что такой катет возможен.

Answer 22

AC = a = 40

BC = b = ?

AB = c = 41

Answer 23

b^2

=c^2

-a^2

b^2

=1681

-1600

=81

Answer 24

b^2

=c^2

-a^2

Answer 25

b^2

=1681

-1600

Answer 26

Положительная разность показывает, что такой катет возможен.

Answer 27

Извлекаем квадратный корень

Ищем положительное число, квадрат которого равен 81. Число 9 подходит: 9 · 9 = 81.

BC = b = ?

b

=\sqrt{81}

=9

Отрицательный корень не рассматриваем: длина стороны положительна.

Answer 28

BC = b = ?

Answer 29

b

=\sqrt{81}

=9

Answer 30

b

=\sqrt{81}

Answer 31

Отрицательный корень не рассматриваем: длина стороны положительна.

Answer 32

Проверяем три стороны

Подставим найденную длину в исходную теорему. Кроме того, гипотенуза 41 должна быть больше и 40, и 9.

{40}^{2}

+{9}^{2}

=1600

+81

=1681

{41}^{2}

=1681

Квадраты совпали, а гипотенуза действительно длиннее каждого катета.

Answer 33

{40}^{2}

+{9}^{2}

=1600

+81

=1681

{41}^{2}

=1681

Answer 34

{40}^{2}

+{9}^{2}

=1600

+81

Answer 35

{41}^{2}

=1681

Answer 36

Квадраты совпали, а гипотенуза действительно длиннее каждого катета.

Answer 37

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

9

Ответ: 9.

Answer 38

Ответ: 9.

Что проверяем	Результат
Искомая величина	Катет по гипотенузе и другому катету
Ответ	$9$

Катет по гипотенузе и другому катету

Разбираем шаг за шагом

Разбираемся, какие стороны известны

Катеты AC и BC образуют прямой угол

Вычисляем квадраты известных сторон

Находим квадрат неизвестного катета

Извлекаем квадратный корень

Проверяем три стороны

Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Катет по гипотенузе и другому катету

Разбираем шаг за шагом

1Разбираемся, какие стороны известны

Катеты AC и BC образуют прямой угол

2Вычисляем квадраты известных сторон

3Находим квадрат неизвестного катета

4Извлекаем квадратный корень

5Проверяем три стороны

6Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Разбираемся, какие стороны известны

Вычисляем квадраты известных сторон

Находим квадрат неизвестного катета

Извлекаем квадратный корень

Проверяем три стороны

Записываем ответ