Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ 1A1A54144 из 262

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

В треугольнике ABC  известно, что AC=20 , BC=21 , угол C  равен 90° . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Рисунок из условия ФИПИ 1A1A54

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1A1A54.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 14,5.

Что нужно найти

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

Идея решения

Сначала найдём гипотенузу AB по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Поэтому радиус — половина найденной гипотенузы.

Катет AC
2020
Катет BC
2121
Угол C
90∘90^\circ
Найти
радиус R описанной окружности

Находим гипотенузу на чертеже

Прямой угол расположен при C, значит, AC и BC — катеты, а противолежащая сторона AB — гипотенуза. Для её нахождения используем теорему Пифагора.

  • AC = 20, BC = 21
  • AB — гипотенуза
  • O — середина AB
  • OA = R = AB / 2
AB2AB^2=AC2=AC^2+BC2+BC^2

Для начала нужна длина AB; радиус найдём после неё.

Окружность проходит через A, B и C

Окружность проходит через A, B и C. Гипотенуза AB является её диаметром; зелёным выделен радиус OA.
Обозначения на чертеже
  • AC = 20, BC = 21
  • AB — гипотенуза
  • O — середина AB
  • OA = R = AB / 2
Окружность проходит через A, B и C. Гипотенуза AB является её диаметром; зелёным выделен радиус OA.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем квадраты катетов

Каждую длину умножаем саму на себя.

202{20}^{2}=20=20⋅20\cdot20
=400=400
212{21}^{2}=21=21⋅21\cdot21
=441=441

Теперь оба слагаемых в теореме Пифагора известны.

Складываем квадраты и находим гипотенузу

Сумма квадратов катетов даёт квадрат гипотенузы. Извлекаем положительный квадратный корень, потому что длина положительна.

  • AB — гипотенуза
  • O — середина AB
  • OA = R = AB / 2
AB2AB^2=400=400+441+441
=841=841
ABAB=841=\sqrt{841}
=29=29

Проверка корня: 29 · 29 = 841.

Объясняем, почему гипотенуза равна диаметру

Угол ACB — вписанный угол описанной окружности и равен 90°. Вписанный прямой угол опирается на полуокружность: её концы A и B являются концами диаметра. Поэтому центр O лежит в середине AB.

  • AB — гипотенуза
  • O — середина AB
  • OA = R = AB / 2
ABAB=2R=2R
RR=AB2=\frac{AB}{2}

Радиус — расстояние от центра O до любой точки окружности, например до A. Он вдвое меньше диаметра AB.

Делим гипотенузу на два

Подставим найденную длину AB.

  • AB — гипотенуза
  • O — середина AB
  • OA = R = AB / 2
RR=292=\frac{29}{2}
=14,5=14{,}5

Это точное значение радиуса. Десятичная дробь здесь нормальна; округлять её не нужно.

Проверяем ответ

Удвоенный радиус должен дать гипотенузу. Её квадрат, в свою очередь, должен совпасть с суммой квадратов катетов.

22⋅14,5\cdot14{,}5=29=29
292{29}^{2}=400=400+441+441
=841=841

Обе проверки выполнены: найденный радиус согласуется с исходными катетами.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

14,514{,}5

Ответ: 14,5.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаРадиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Ответ14,514{,}5

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Убедитесь, что угол C прямой; гипотенуза — AB.
  2. Вычислите квадраты катетов AC и BC.
  3. Сложите квадраты и извлеките положительный корень — это AB.
  4. Вспомните: AB является диаметром описанной окружности. Разделите AB на 2.
  5. Проверьте, что удвоенный радиус равен гипотенузе.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника.
  • Гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной.
  • AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2 — теорема Пифагора.
  • Вписанный угол 90° опирается на диаметр. Поэтому центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.
  • Диаметр равен двум радиусам: d=2Rd=2R.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте описанную окружность, проходящую через вершины, с вписанной, касающейся сторон.
  • Нельзя принять гипотенузу за радиус: это диаметр, который нужно разделить на 2.
  • Не складывайте катеты вместо их квадратов.
  • Если гипотенуза нечётная, радиус дробный. Его не нужно округлять.
Все задания №15 (262)