Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ 6B712D119 из 262

Средняя линия треугольника

Точки M  и N  являются серединами сторон AB  и BC  треугольника ABC , сторона AB  равна 31, сторона BC  равна 27, сторона AC  равна 40. Найдите MN .

Рисунок из условия ФИПИ 6B712D

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6B712D.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 20.

Что нужно найти

Средняя линия треугольника

Идея решения

M и N — середины двух сторон. Соединяющий их отрезок MN называется средней линией: он параллелен третьей стороне AC и равен её половине. Поэтому длины AB и BC для вычисления не понадобятся.

Стороны
AB=31AB=31, BC=27BC=27, AC=40AC=40
Точки M и N
Середины AB и BC
Найти
MN

Узнаём среднюю линию

M — середина AB, N — середина BC. Поэтому MN соединяет середины двух сторон и является средней линией треугольника.

  • AC = 40
  • MN — средняя линия
  • MN ∥ AC
AMAM=MB,BN=MB,\quad BN
=NC=NC

Третья сторона — AC: на ней не лежат ни M, ни N.

Зелёный отрезок MN соединяет середины AB и BC

Зелёный отрезок MN соединяет середины AB и BC. Он параллелен синей стороне AC и вдвое короче неё.
Обозначения на чертеже
  • AC = 40
  • MN — средняя линия
  • MN ∥ AC
Зелёный отрезок MN соединяет середины AB и BC. Он параллелен синей стороне AC и вдвое короче неё.
Открыть схему крупнее ↗

Применяем свойство средней линии

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.

  • AC = 40
  • MN — средняя линия
  • MN ∥ AC
MNMN=AC2=\frac{AC}{2}

Это следует и из подобия треугольников BMN и BAC: BM вдвое меньше BA, поэтому соответствующая сторона MN вдвое меньше AC.

Делим третью сторону пополам

Подставим длину AC и разделим её на 2.

  • AC = 40
  • MN — средняя линия
  • MN ∥ AC
MNMN=402=\frac{40}{2}
=20=20

Это длина искомого отрезка.

Проверяем удвоением

Две такие длины должны дать целую сторону AC.

  • AC = 40
  • MN ∥ AC
22⋅20\cdot20=40=40

Получили длину AC из условия.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

2020

Ответ: 20.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаСредняя линия треугольника
Ответ2020

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Внимательно прочитайте, какие точки являются серединами сторон.
  2. Найдите сторону AC, половина которой нужна.
  3. Разделите AC на 2.
  4. Проверьте результат удвоением.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  • Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не делите длину медианы вместо длины стороны, на которой лежит её конец.
  • Средняя линия равна половине именно третьей стороны, а не стороны, на которой отмечена одна из середин.
  • Необязательно использовать все числа из условия: некоторые могут быть лишними для вопроса.
Все задания №15 (262)