Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ FE3434257 из 262

Угол треугольника при медиане, равной половине стороны

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если Угол C равен 71° и BM = AM = MC.

Треугольник ABC с медианой BM, равной AM и MC

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание FE3434.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 19.

Что нужно найти

Угол треугольника при медиане, равной половине стороны

Идея решения

Отрезок BM разделяет исходный треугольник на два равнобедренных: BMC и ABM. Последовательно найдём их углы, используя равенство углов при основании и сумму углов 180°.

Медиана
BM, точка M лежит на AC
Равенство длин
BM=AM=MCBM=AM=MC
Угол C
71∘71^\circ
Найти
угол A

Находим равные углы в треугольнике BMC

BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный с основанием BC. Углы напротив равных сторон, MBC и BCM, равны. Поскольку CM направлен по CA, угол BCM равен данному углу C.

  • AM = BM = MC
  • ∠BCM = 71°
  • Сначала смотрим BMC
∠MBC\angle MBC=∠BCM=\angle BCM
=71∘=71^\circ

Оба угла при основании BC теперь известны.

Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC

Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC. Они образуют два равнобедренных треугольника.
Обозначения на чертеже
  • AM = BM = MC
  • ∠BCM = 71°
  • Сначала смотрим BMC
  • Затем смотрим ABM
Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC. Они образуют два равнобедренных треугольника.
Открыть схему крупнее ↗

Находим угол при точке M справа

Сумма углов BMC равна 180°. Вычтем два одинаковых угла по 71°.

  • AM = BM = MC
  • Сначала смотрим BMC
∠BMC\angle BMC=180=180−71-71−71-71
=109=109−71-71

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=38∘=38^\circ

Это угол между MB и MC.

Переходим к углу M слева

A, M и C находятся на одной прямой. Углы AMB и BMC смежные, поэтому их сумма 180°.

  • Сначала смотрим BMC
  • Затем смотрим ABM
∠AMB\angle AMB=180=180−38-38
=142∘=142^\circ

Теперь можно рассмотреть левый треугольник ABM.

Используем вторую пару равных сторон

AM = BM, поэтому треугольник ABM равнобедренный с основанием AB. Углы BAM и ABM равны. После вычитания угла AMB остаток нужно разделить на 2.

  • AM = BM = MC
  • Затем смотрим ABM
∠BAM\angle BAM=∠ABM=\angle ABM
∠BAM\angle BAM=180−1422=\frac{180-142}{2}
=382=\frac{38}{2}
=19∘=19^\circ

Луч AM совпадает с лучом AC, поэтому BAM — искомый угол A.

Проверяем исходный треугольник

Угол B состоит из углов ABM и MBC. Их сумма равна 90°. Проверим также все три угла ABC.

  • Затем смотрим ABM
∠ABC\angle ABC=19=19+71+71
=90∘=90^\circ
1919+90+90+71+71=109=109+71+71

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180∘=180^\circ

Все равенства выполнены.

Записываем ответ

Угол найден; его величина выражена в градусах. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

1919

Ответ: 19.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаУгол треугольника при медиане, равной половине стороны
Ответ19∘19^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. По BM = MC найдите равные углы в BMC.
  2. Вычислите угол BMC.
  3. Используйте прямую AMC, чтобы найти угол AMB.
  4. По AM = BM разделите остаток углов треугольника ABM поровну.
  5. Проверьте сумму углов исходного ABC.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • В равнобедренном треугольнике углы напротив равных сторон равны.
  • Точки A, M, C лежат на прямой; углы AMB и BMC смежные.
  • Сумма углов треугольника 180°.
  • Медиана, равная половине стороны, проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника. Последовательный расчёт ниже позволяет получить ответ без запоминания этого признака.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Само слово «медиана» не означает, что BM равно AM: здесь это отдельно дано в условии.
  • Угол M рассматривайте в нужном маленьком треугольнике: AMB и BMC — разные углы.
  • Не переносите угол C на угол A без расчёта: эти углы не равны.
Все задания №15 (262)