Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ F3561181 из 262

Катет по гипотенузе и другому катету

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 5 и 13 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Математическая запись из условия ФИПИ F35611

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F35611.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 12.

Что нужно найти

Катет по гипотенузе и другому катету

Идея решения

Сначала отличим гипотенузу от катетов: гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Затем применим теорему Пифагора и отдельно вычислим квадраты, их разность и положительный квадратный корень.

Тип треугольника
Прямоугольный
Дано
a=5a=5, c=13c=13
Найти
катет b

Разбираемся, какие стороны известны

Обозначим катеты a и b, а гипотенузу c. Катеты образуют прямой угол. Известны катет a=5a=5 и гипотенуза c=13c=13. Ищем второй катет b.

  • AC = a = 5
  • BC = b = ?
  • AB = c = 13
c2c^2=a2=a^2+b2+b^2

На поясняющем чертеже синим показаны катеты, зелёным — гипотенуза.

Катеты AC и BC образуют прямой угол

Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.
Обозначения на чертеже
  • AC = a = 5
  • BC = b = ?
  • AB = c = 13
  • Прямой угол — C
Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем квадраты известных сторон

Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя. Посчитаем каждый квадрат отдельно.

52{5}^{2}=5=5⋅5\cdot5
=25=25
132{13}^{2}=13=13⋅13\cdot13
=169=169

Теперь подставим результаты в теорему Пифагора.

Находим квадрат неизвестного катета

Из равенства a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 вычитаем a2a^2 с обеих сторон. Из большего квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

  • AC = a = 5
  • BC = b = ?
  • AB = c = 13
b2b^2=c2=c^2−a2-a^2
b2b^2=169=169−25-25
=144=144

Положительная разность показывает, что такой катет возможен.

Извлекаем квадратный корень

Ищем положительное число, квадрат которого равен 144. Число 12 подходит: 12 · 12 = 144.

  • BC = b = ?
bb=144=\sqrt{144}
=12=12

Отрицательный корень не рассматриваем: длина стороны положительна.

Проверяем три стороны

Подставим найденную длину в исходную теорему. Кроме того, гипотенуза 13 должна быть больше и 5, и 12.

52{5}^{2}+122+{12}^{2}=25=25+144+144
=169=169
132{13}^{2}=169=169

Квадраты совпали, а гипотенуза действительно длиннее каждого катета.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

1212

Ответ: 12.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаКатет по гипотенузе и другому катету
Ответ1212

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите прямой угол и сторону напротив него — гипотенузу.
  2. Обозначьте катеты a и b, гипотенузу c.
  3. Запишите a2+b2=c2a^2+b^2=c^2.
  4. Вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.
  5. Извлеките положительный корень и проверьте длины.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Теорема Пифагора применяется к прямоугольному треугольнику.
  • a2a^2 означает a⋅aa\cdot a, а не 2a2a.
  • Гипотенуза больше каждого катета.
  • Квадратный корень из числа — неотрицательное число, квадрат которого равен исходному.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не складывайте сами длины вместо квадратов.
  • Для гипотенузы квадраты складывают; для неизвестного катета — вычитают.
  • Не забывайте извлечь корень: квадрат длины ещё не является длиной.
Все задания №15 (262)