Угол треугольника при медиане, равной половине стороны

Question

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$ . Найдите градусную меру угла $A$ , если $Угол C равен 61°$ и $BM = AM = MC$ .

$Треугольник ABC с медианой BM, равной AM и MC$

Answer 1

Что нужно найти

Угол треугольника при медиане, равной половине стороны

Идея решения

Отрезок BM разделяет исходный треугольник на два равнобедренных: BMC и ABM. Последовательно найдём их углы, используя равенство углов при основании и сумму углов 180°.

Медиана: BM, точка M лежит на AC
Равенство длин: $BM=AM=MC$
Угол C: $61^\circ$
Найти: угол A

Находим равные углы в треугольнике BMC

BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный с основанием BC. Углы напротив равных сторон, MBC и BCM, равны. Поскольку CM направлен по CA, угол BCM равен данному углу C.

AM = BM = MC
∠BCM = 61°
Сначала смотрим BMC

\angle MBC

=\angle BCM

=61^\circ

Оба угла при основании BC теперь известны.

Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC. Они образуют два равнобедренных треугольника.

Находим угол при точке M справа

Сумма углов BMC равна 180°. Вычтем два одинаковых угла по 61°.

AM = BM = MC
Сначала смотрим BMC

\angle BMC

=180

-61

-61

=119

-61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=58^\circ

Это угол между MB и MC.

Переходим к углу M слева

A, M и C находятся на одной прямой. Углы AMB и BMC смежные, поэтому их сумма 180°.

Сначала смотрим BMC
Затем смотрим ABM

\angle AMB

=180

-58

=122^\circ

Теперь можно рассмотреть левый треугольник ABM.

Используем вторую пару равных сторон

AM = BM, поэтому треугольник ABM равнобедренный с основанием AB. Углы BAM и ABM равны. После вычитания угла AMB остаток нужно разделить на 2.

AM = BM = MC
Затем смотрим ABM

\angle BAM

=\angle ABM

\angle BAM

=\frac{180-122}{2}

=\frac{58}{2}

=29^\circ

Луч AM совпадает с лучом AC, поэтому BAM — искомый угол A.

Проверяем исходный треугольник

Угол B состоит из углов ABM и MBC. Их сумма равна 90°. Проверим также все три угла ABC.

Затем смотрим ABM

\angle ABC

=29

+61

=90^\circ

29

+90

+61

=119

+61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180^\circ

Все равенства выполнены.

Записываем ответ

Угол найден; его величина выражена в градусах. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

29

Ответ: 29.

Answer 2

Что нужно найти

Угол треугольника при медиане, равной половине стороны

Answer 3

Идея решения

Отрезок BM разделяет исходный треугольник на два равнобедренных: BMC и ABM. Последовательно найдём их углы, используя равенство углов при основании и сумму углов 180°.

Answer 4

Медиана

BM, точка M лежит на AC

Равенство длин

BM=AM=MC

Угол C

61^\circ

Найти

угол A

Answer 5

Находим равные углы в треугольнике BMC

BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный с основанием BC. Углы напротив равных сторон, MBC и BCM, равны. Поскольку CM направлен по CA, угол BCM равен данному углу C.

AM = BM = MC
∠BCM = 61°
Сначала смотрим BMC

\angle MBC

=\angle BCM

=61^\circ

Оба угла при основании BC теперь известны.

Answer 6

Почему это работает

Равные отрезки образуют равнобедренные треугольники. Углы напротив равных сторон равны.

Answer 7

AM = BM = MC

∠BCM = 61°

Сначала смотрим BMC

Answer 8

\angle MBC

=\angle BCM

=61^\circ

Answer 9

\angle MBC

=\angle BCM

Answer 10

Оба угла при основании BC теперь известны.

Answer 11

Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC

$Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC. Они образуют два равнобедренных треугольника.$

Обозначения на чертеже

AM = BM = MC
∠BCM = 61°
Сначала смотрим BMC
Затем смотрим ABM

Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC. Они образуют два равнобедренных треугольника.

Открыть схему крупнее ↗

Answer 12

$Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC. Они образуют два равнобедренных треугольника.$

Обозначения на чертеже

AM = BM = MC
∠BCM = 61°
Сначала смотрим BMC
Затем смотрим ABM

Answer 13

$Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC. Они образуют два равнобедренных треугольника.$

Answer 14

Обозначения на чертеже

AM = BM = MC
∠BCM = 61°
Сначала смотрим BMC
Затем смотрим ABM

Answer 15

Открыть схему крупнее ↗

Answer 16

Находим угол при точке M справа

Сумма углов BMC равна 180°. Вычтем два одинаковых угла по 61°.

AM = BM = MC
Сначала смотрим BMC

\angle BMC

=180

-61

-61

=119

-61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=58^\circ

Это угол между MB и MC.

Answer 17

AM = BM = MC

Сначала смотрим BMC

Answer 18

\angle BMC

=180

-61

-61

=119

-61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=58^\circ

Answer 19

\angle BMC

=180

-61

-61

Answer 20

=119

-61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

Answer 21

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

Answer 22

Это угол между MB и MC.

Answer 23

Переходим к углу M слева

A, M и C находятся на одной прямой. Углы AMB и BMC смежные, поэтому их сумма 180°.

Сначала смотрим BMC
Затем смотрим ABM

\angle AMB

=180

-58

=122^\circ

Теперь можно рассмотреть левый треугольник ABM.

Answer 24

Сначала смотрим BMC

Затем смотрим ABM

Answer 25

\angle AMB

=180

-58

=122^\circ

Answer 26

\angle AMB

=180

-58

Answer 27

=122^\circ

Answer 28

Теперь можно рассмотреть левый треугольник ABM.

Answer 29

Используем вторую пару равных сторон

AM = BM, поэтому треугольник ABM равнобедренный с основанием AB. Углы BAM и ABM равны. После вычитания угла AMB остаток нужно разделить на 2.

AM = BM = MC
Затем смотрим ABM

\angle BAM

=\angle ABM

\angle BAM

=\frac{180-122}{2}

=\frac{58}{2}

=29^\circ

Луч AM совпадает с лучом AC, поэтому BAM — искомый угол A.

Answer 30

AM = BM = MC

Затем смотрим ABM

Answer 31

\angle BAM

=\angle ABM

\angle BAM

=\frac{180-122}{2}

=\frac{58}{2}

=29^\circ

Answer 32

\angle BAM

=\angle ABM

Answer 33

\angle BAM

=\frac{180-122}{2}

Answer 34

=\frac{58}{2}

Answer 35

Луч AM совпадает с лучом AC, поэтому BAM — искомый угол A.

Answer 36

Проверяем исходный треугольник

Угол B состоит из углов ABM и MBC. Их сумма равна 90°. Проверим также все три угла ABC.

Затем смотрим ABM

\angle ABC

=29

+61

=90^\circ

29

+90

+61

=119

+61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180^\circ

Все равенства выполнены.

Answer 37

Затем смотрим ABM

Answer 38

\angle ABC

=29

+61

=90^\circ

29

+90

+61

=119

+61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180^\circ

Answer 39

\angle ABC

=29

+61

Answer 40

29

+90

+61

=119

+61

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

Answer 41

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

Answer 42

=180^\circ

Answer 43

Все равенства выполнены.

Answer 44

Записываем ответ

Угол найден; его величина выражена в градусах. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

29

Ответ: 29.

Answer 45

Ответ: 29.

Что проверяем	Результат
Искомая величина	Угол треугольника при медиане, равной половине стороны
Ответ	$29^\circ$

Угол треугольника при медиане, равной половине стороны

Разбираем шаг за шагом

Находим равные углы в треугольнике BMC

Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC

Находим угол при точке M справа

Переходим к углу M слева

Используем вторую пару равных сторон

Проверяем исходный треугольник

Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Угол треугольника при медиане, равной половине стороны

Разбираем шаг за шагом

1Находим равные углы в треугольнике BMC

Одинаковыми штрихами отмечены равные отрезки AM, BM и MC

2Находим угол при точке M справа

3Переходим к углу M слева

4Используем вторую пару равных сторон

5Проверяем исходный треугольник

6Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Находим равные углы в треугольнике BMC

Находим угол при точке M справа

Переходим к углу M слева

Используем вторую пару равных сторон

Проверяем исходный треугольник

Записываем ответ