Катет BC по косинусу угла B

Question

В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $90 °$ , $\cos B = \frac{7}{9}$ , $A B = 54$ . Найдите $B C$ .

Answer 1

Что нужно найти

Катет BC по косинусу угла B

Идея решения

Все названия сторон определяем относительно угла B. AC находится напротив него, BC примыкает к нему, AB — гипотенуза. Косинус — отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Из отношения выразим неизвестный катет умножением.

Прямой угол: $90^\circ$ при вершине C
Известные данные: $\cos B=\dfrac{7}{9}$ , $AB=54$
Найти: BC

Находим нужные стороны относительно угла B

Угол C прямой, поэтому AB — гипотенуза. Катет AC находится напротив угла B. Катет BC образует угол B вместе с гипотенузой, значит, BC — прилежащий катет.

AC — напротив B
BC — рядом с B
AB — гипотенуза

Эти названия относятся именно к углу B; для угла A катеты поменяются ролями.

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.

Выбираем определение

По определению косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Поэтому в числитель ставим BC, а в знаменатель — AB.

BC — рядом с B
AB — гипотенуза

\cos B

=\frac{BC}{AB}

Формула показывает, какую длину на какую нужно делить.

Выражаем неизвестную сторону

Из равенства «отношение = катет / известная сторона» умножаем обе части на AB. Знаменатель в правой части сокращается.

BC — рядом с B
AB — гипотенуза

\cos B

=\frac{BC}{AB}

BC

=AB

\cdot\cos B

Именно поэтому заданное отношение нужно умножить на известную сторону.

Подставляем данные и вычисляем

Подставляем $AB=54$ и $\cos B=\dfrac{7}{9}$ . Умножение на дробь означает умножение на числитель и деление на знаменатель.

BC — рядом с B
AB — гипотенуза

BC

=54

\cdot\frac{7}{9}

=\frac{54\cdot7}{9}

=\frac{378}{9}

Считаем числитель: $54\cdot7=378$ .

=42

Сначала удобно разделить 54 на 9, затем умножить на 7.

Проверяем по исходному определению

Разделим найденный катет на известную сторону. Должна получиться дробь из условия.

\frac{42}{54}

=\frac{42:6}{54:6}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 6.

=\frac{7}{9}

Исходное отношение восстановилось, поэтому длина найдена верно.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

42

Ответ: 42.

Answer 2

Что нужно найти

Катет BC по косинусу угла B

Answer 3

Идея решения

Все названия сторон определяем относительно угла B. AC находится напротив него, BC примыкает к нему, AB — гипотенуза. Косинус — отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Из отношения выразим неизвестный катет умножением.

Answer 4

Прямой угол

90^\circ

при вершине C

Известные данные

\cos B=\dfrac{7}{9}

,

AB=54

Найти

BC

Answer 5

Находим нужные стороны относительно угла B

Угол C прямой, поэтому AB — гипотенуза. Катет AC находится напротив угла B. Катет BC образует угол B вместе с гипотенузой, значит, BC — прилежащий катет.

AC — напротив B
BC — рядом с B
AB — гипотенуза

Эти названия относятся именно к углу B; для угла A катеты поменяются ролями.

Answer 6

Почему это работает

Косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу. Названия катетов определяем относительно указанного угла.

Answer 7

AC — напротив B

BC — рядом с B

AB — гипотенуза

Answer 8

Эти названия относятся именно к углу B; для угла A катеты поменяются ролями.

Answer 9

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB

$Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.$

Обозначения на чертеже

AC — напротив B
BC — рядом с B
AB — гипотенуза
Угол B выделен дугой

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.

Открыть схему крупнее ↗

Answer 10

$Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.$

Обозначения на чертеже

AC — напротив B
BC — рядом с B
AB — гипотенуза
Угол B выделен дугой

Answer 11

$Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.$

Answer 12

Обозначения на чертеже

AC — напротив B
BC — рядом с B
AB — гипотенуза
Угол B выделен дугой

Answer 13

Открыть схему крупнее ↗

Answer 14

Выбираем определение

По определению косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Поэтому в числитель ставим BC, а в знаменатель — AB.

BC — рядом с B
AB — гипотенуза

\cos B

=\frac{BC}{AB}

Формула показывает, какую длину на какую нужно делить.

Answer 15

BC — рядом с B

AB — гипотенуза

Answer 16

\cos B

=\frac{BC}{AB}

Answer 17

\cos B

=\frac{BC}{AB}

Answer 18

Формула показывает, какую длину на какую нужно делить.

Answer 19

Выражаем неизвестную сторону

Из равенства «отношение = катет / известная сторона» умножаем обе части на AB. Знаменатель в правой части сокращается.

BC — рядом с B
AB — гипотенуза

\cos B

=\frac{BC}{AB}

BC

=AB

\cdot\cos B

Именно поэтому заданное отношение нужно умножить на известную сторону.

Answer 20

BC — рядом с B

AB — гипотенуза

Answer 21

\cos B

=\frac{BC}{AB}

BC

=AB

\cdot\cos B

Answer 22

\cos B

=\frac{BC}{AB}

Answer 23

BC

=AB

\cdot\cos B

Answer 24

Именно поэтому заданное отношение нужно умножить на известную сторону.

Answer 25

Подставляем данные и вычисляем

Подставляем $AB=54$ и $\cos B=\dfrac{7}{9}$ . Умножение на дробь означает умножение на числитель и деление на знаменатель.

BC — рядом с B
AB — гипотенуза

BC

=54

\cdot\frac{7}{9}

=\frac{54\cdot7}{9}

=\frac{378}{9}

Считаем числитель: $54\cdot7=378$ .

=42

Сначала удобно разделить 54 на 9, затем умножить на 7.

Answer 26

BC — рядом с B

AB — гипотенуза

Answer 27

BC

=54

\cdot\frac{7}{9}

=\frac{54\cdot7}{9}

=\frac{378}{9}

Считаем числитель: $54\cdot7=378$ .

=42

Answer 28

BC

=54

\cdot\frac{7}{9}

Answer 29

=\frac{54\cdot7}{9}

Answer 30

=\frac{378}{9}

Считаем числитель: $54\cdot7=378$ .

Answer 31

Считаем числитель:

54\cdot7=378

.

Answer 32

Сначала удобно разделить 54 на 9, затем умножить на 7.

Answer 33

Проверяем по исходному определению

Разделим найденный катет на известную сторону. Должна получиться дробь из условия.

\frac{42}{54}

=\frac{42:6}{54:6}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 6.

=\frac{7}{9}

Исходное отношение восстановилось, поэтому длина найдена верно.

Answer 34

\frac{42}{54}

=\frac{42:6}{54:6}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 6.

=\frac{7}{9}

Answer 35

\frac{42}{54}

Answer 36

=\frac{42:6}{54:6}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 6.

Answer 37

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 6.

Answer 38

=\frac{7}{9}

Answer 39

Исходное отношение восстановилось, поэтому длина найдена верно.

Answer 40

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

42

Ответ: 42.

Answer 41

Ответ: 42.

Что проверяем	Результат
Искомая величина	Катет BC по косинусу угла B
Ответ	$42$

Катет BC по косинусу угла B

Разбираем шаг за шагом

Находим нужные стороны относительно угла B

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB

Выбираем определение

Выражаем неизвестную сторону

Подставляем данные и вычисляем

Проверяем по исходному определению

Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Катет BC по косинусу угла B

Разбираем шаг за шагом

1Находим нужные стороны относительно угла B

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB

2Выбираем определение

3Выражаем неизвестную сторону

4Подставляем данные и вычисляем

5Проверяем по исходному определению

6Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Находим нужные стороны относительно угла B

Выбираем определение

Выражаем неизвестную сторону

Подставляем данные и вычисляем

Проверяем по исходному определению

Записываем ответ