Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ 7BFD23105 из 262

Гипотенуза по двум катетам

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Математическая запись из условия ФИПИ 7BFD23

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 7BFD23.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 13.

Что нужно найти

Гипотенуза по двум катетам

Идея решения

Сначала отличим гипотенузу от катетов: гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Затем применим теорему Пифагора и отдельно вычислим квадраты, их сумму и положительный квадратный корень.

Тип треугольника
Прямоугольный
Дано
a=12a=12, b=5b=5
Найти
гипотенузу c

Разбираемся, какие стороны известны

Обозначим катеты a и b, а гипотенузу c. Катеты образуют прямой угол. Известны оба катета: a=12a=12, b=5b=5. Ищем c.

  • AC = a = 12
  • BC = b = 5
  • AB = c = ?
c2c^2=a2=a^2+b2+b^2

На поясняющем чертеже синим показаны катеты, зелёным — гипотенуза.

Катеты AC и BC образуют прямой угол

Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.
Обозначения на чертеже
  • AC = a = 12
  • BC = b = 5
  • AB = c = ?
  • Прямой угол — C
Катеты AC и BC образуют прямой угол. Гипотенуза AB лежит напротив него.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем квадраты известных сторон

Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя. Посчитаем каждый квадрат отдельно.

122{12}^{2}=12=12⋅12\cdot12
=144=144
52{5}^{2}=5=5⋅5\cdot5
=25=25

Теперь подставим результаты в теорему Пифагора.

Находим квадрат гипотенузы

Квадраты катетов складываем. Складываются именно квадраты, потому что так устроена теорема Пифагора.

  • AB = c = ?
c2c^2=144=144+25+25
=169=169

Пока нашли квадрат длины, а не саму длину.

Извлекаем квадратный корень

Ищем положительное число, квадрат которого равен 169. Число 13 подходит: 13 · 13 = 169.

  • AB = c = ?
cc=169=\sqrt{169}
=13=13

Отрицательный корень не рассматриваем: длина стороны положительна.

Проверяем три стороны

Подставим найденную длину в исходную теорему. Кроме того, гипотенуза 13 должна быть больше и 12, и 5.

122{12}^{2}+52+{5}^{2}=144=144+25+25
=169=169
132{13}^{2}=169=169

Квадраты совпали, а гипотенуза действительно длиннее каждого катета.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

1313

Ответ: 13.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаГипотенуза по двум катетам
Ответ1313

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите прямой угол и сторону напротив него — гипотенузу.
  2. Обозначьте катеты a и b, гипотенузу c.
  3. Запишите a2+b2=c2a^2+b^2=c^2.
  4. Сложите квадраты катетов.
  5. Извлеките положительный корень и проверьте длины.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Теорема Пифагора применяется к прямоугольному треугольнику.
  • a2a^2 означает a⋅aa\cdot a, а не 2a2a.
  • Гипотенуза больше каждого катета.
  • Квадратный корень из числа — неотрицательное число, квадрат которого равен исходному.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не складывайте сами длины вместо квадратов.
  • Для гипотенузы квадраты складывают; для неизвестного катета — вычитают.
  • Не забывайте извлечь корень: квадрат длины ещё не является длиной.
Все задания №15 (262)