Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 15 · ФИПИ 1B871387 из 262

Катет BC по косинусу угла B

Рисунок из условия ФИПИ 1B8713

В треугольнике ABC  угол C  равен 90° , cosB= 2 5 , AB=10 . Найдите BC .

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1B8713.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 4.

Что нужно найти

Катет BC по косинусу угла B

Идея решения

Все названия сторон определяем относительно угла B. AC находится напротив него, BC примыкает к нему, AB — гипотенуза. Косинус — отношение прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Из отношения выразим неизвестный катет умножением.

Прямой угол
90∘90^\circ при вершине C
Известные данные
cos⁡B=25\cos B=\dfrac{2}{5}, AB=10AB=10
Найти
BC

Находим нужные стороны относительно угла B

Угол C прямой, поэтому AB — гипотенуза. Катет AC находится напротив угла B. Катет BC образует угол B вместе с гипотенузой, значит, BC — прилежащий катет.

  • AC — напротив B
  • BC — рядом с B
  • AB — гипотенуза

Эти названия относятся именно к углу B; для угла A катеты поменяются ролями.

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB

Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.
Обозначения на чертеже
  • AC — напротив B
  • BC — рядом с B
  • AB — гипотенуза
  • Угол B выделен дугой
Синим показан противолежащий углу B катет AC, зелёным — прилежащий BC, оранжевым — гипотенуза AB.
Открыть схему крупнее ↗

Выбираем определение

По определению косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Поэтому в числитель ставим BC, а в знаменатель — AB.

  • BC — рядом с B
  • AB — гипотенуза
cos⁡B\cos B=BCAB=\frac{BC}{AB}

Формула показывает, какую длину на какую нужно делить.

Выражаем неизвестную сторону

Из равенства «отношение = катет / известная сторона» умножаем обе части на AB. Знаменатель в правой части сокращается.

  • BC — рядом с B
  • AB — гипотенуза
cos⁡B\cos B=BCAB=\frac{BC}{AB}
BCBC=AB=AB⋅cos⁡B\cdot\cos B

Именно поэтому заданное отношение нужно умножить на известную сторону.

Подставляем данные и вычисляем

Подставляем AB=10AB=10 и cos⁡B=25\cos B=\dfrac{2}{5}. Умножение на дробь означает умножение на числитель и деление на знаменатель.

  • BC — рядом с B
  • AB — гипотенуза
BCBC=10=10⋅25\cdot\frac{2}{5}
=10⋅25=\frac{10\cdot2}{5}
=205=\frac{20}{5}

Считаем числитель: 10⋅2=2010\cdot2=20.

=4=4

Сначала удобно разделить 10 на 5, затем умножить на 2.

Проверяем по исходному определению

Разделим найденный катет на известную сторону. Должна получиться дробь из условия.

410\frac{4}{10}
=4:210:2=\frac{4:2}{10:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

=25=\frac{2}{5}

Исходное отношение восстановилось, поэтому длина найдена верно.

Записываем ответ

Искомая длина найдена. В поле ответа вводим только полученное число, без букв и единиц измерения.

44

Ответ: 4.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаКатет BC по косинусу угла B
Ответ44

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите прямой угол C; напротив него лежит гипотенуза AB.
  2. Для угла B обозначьте противолежащий катет AC и прилежащий катет BC.
  3. Запишите определение: cos⁡B=BCAB\cos B=\dfrac{BC}{AB}.
  4. Умножьте известную сторону на заданное отношение.
  5. Проверьте отношение сторон и запишите число.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Гипотенуза находится напротив прямого угла.
  • Названия «прилежащий» и «противолежащий» зависят от выбранного острого угла.
  • sin⁡B=ACAB\sin B=\dfrac{AC}{AB}, cos⁡B=BCAB\cos B=\dfrac{BC}{AB}, tg⁡B=ACBC\operatorname{tg} B=\dfrac{AC}{BC}.
  • Синус и косинус острого угла меньше 1. Тангенс может быть как меньше, так и больше 1.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не меняйте числитель и знаменатель местами: получите обратную величину.
  • В тангенсе участвуют два катета; в синусе и косинусе в знаменателе стоит гипотенуза.
  • Угол B измеряется в градусах, а его синус, косинус и тангенс являются отношениями длин.
  • Переходя к десятичной записи, не округляйте точный ответ.
Все задания №15 (262)