ОГЭ · Математика · 9 класс Задание 16 · ФИПИ C84B98 197 из 312
Диагональ квадрата по радиусу вписанной окружности
16 Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4 2
Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание C84B98 .
1 ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ Разбираем шаг за шагом Сначала попробуйте решить самостоятельно Ответ: 16.
Что нужно найти Диагональ квадрата по радиусу вписанной окружности
Идея решения Сначала определим положение окружности. Она касается сторон квадрата: расстояние между противоположными сторонами равно диаметру 2r. Значит, сторона квадрата a = 2r.
Дано r = 4 2 r=4 \sqrt{2} r = 4 2
Найти Диагональ квадрата по радиусу вписанной окружности 1 Разбираемся, что является диаметром Радиусы, перпендикулярные двум противоположным сторонам, лежат на одной прямой. Вместе они дают расстояние между сторонами, равное стороне квадрата.
Радиус составляет половину соответствующего диаметра.
Окружность касается сторон квадрата Окружность касается сторон квадрата. Перпендикуляр OH — радиус. Открыть схему крупнее ↗ 2 Объясняем формулу диагонали Диагональ AC делит квадрат на два прямоугольных треугольника. Оба катета в каждом равны a.
A C 2 AC^2 A C 2 = a 2 =a^2 = a 2 + a 2 +a^2 + a 2 Берём положительный корень, так как длина положительна.
3 Находим сторону по радиусу Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности.
a a a = 2 =2 = 2 ⋅ 4 2 \cdot4 \sqrt{2} ⋅ 4 2 Подставим эту сторону в формулу диагонали.
4 Вычисляем диагональ Умножим сторону на 2 \sqrt{2} 2 2 ⋅ 2 \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} 2 ⋅ 2
d d d = 8 2 =8 \sqrt{2} = 8 2 ⋅ 2 \cdot\sqrt{2} ⋅ 2 Перемножаем одинаковые корни: 2 ⋅ 2 = 2 \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2 2 ⋅ 2 = 2
Все множители учтены; корень исчез после умножения.
5 Проверяем теоремой Пифагора Квадрат диагонали должен быть равен удвоенному квадрату стороны.
= 2 =2 = 2 ⋅ 8 2 2 \cdot{8 \sqrt{2}}^{2} ⋅ 8 2 2 Равенство выполнено.
6 Записываем ответ Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.
Ответ: 16.
Итоги решения и проверки Что проверяем Результат Искомая величина Диагональ квадрата по радиусу вписанной окружности Ответ 16 16 16
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.
2 КАК РЕШАТЬ Памятка Порядок действий для задач этого типа Определите, окружность касается сторон или проходит через вершины. Свяжите диаметр со стороной либо диагональю. При необходимости примените теорему Пифагора. Подставьте данные, выполните действия с корнями. Проверьте обратную связь с радиусом. 3 ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ Что нужно знать Основные понятия и правила для этого задания В квадрате все стороны равны, все углы прямые. Радиус вдвое меньше диаметра. d = a 2 d=a\sqrt{2} d = a 2 S = a 2 S=a^2 S = a 2 4 ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ Типичные ошибки На что обратить внимание при самопроверке Не путайте вписанную и описанную окружности. У описанной окружности диаметр — диагональ квадрата; у вписанной диаметр равен стороне. Квадрат длины и сама длина — разные величины. Все задания №16 (312) 
