ОГЭ · Математика · 9 класс Задание 16 · ФИПИ 1F54D7 125 из 312
Радиус описанной окружности квадрата
16 Сторона квадрата равна 4 2
Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.
Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1F54D7 .
1 ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ Разбираем шаг за шагом Сначала попробуйте решить самостоятельно Ответ: 4.
Что нужно найти Радиус описанной окружности квадрата
Идея решения Сначала определим положение окружности. Она проходит через вершины квадрата. Диагональ квадрата проходит через центр окружности, поэтому равна диаметру 2R. Затем применим теорему Пифагора.
Дано a = 4 2 a=4 \sqrt{2} a = 4 2
Найти Радиус описанной окружности квадрата 1 Разбираемся, что является диаметром Противоположные вершины A и C соединены диагональю. Она проходит через центр O, поэтому AC — диаметр окружности.
Радиус составляет половину соответствующего диаметра.
Окружность проходит через вершины квадрата Окружность проходит через вершины квадрата. Диагональ AC — диаметр. Открыть схему крупнее ↗ 2 Объясняем формулу диагонали Диагональ AC делит квадрат на два прямоугольных треугольника. Оба катета в каждом равны a.
A C 2 AC^2 A C 2 = a 2 =a^2 = a 2 + a 2 +a^2 + a 2 Берём положительный корень, так как длина положительна.
3 Делим диагональ пополам Центр квадрата — середина диагонали. Следовательно, радиус равен половине диагонали.
R R R = A C 2 =\frac{AC}{2} = 2 A C = a 2 2 =\frac{a\sqrt{2}}{2} = 2 a 2 Не делим саму сторону на 2: это формула другого радиуса.
4 Подставляем сторону и считаем Перемножаем корни, затем делим числитель на 2.
R R R = 4 2 ⋅ 2 2 =\frac{4 \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} = 2 4 2 ⋅ 2 Получили радиус описанной окружности.
5 Проверяем диагональ Её квадрат должен быть равен сумме квадратов двух сторон.
= 2 =2 = 2 ⋅ 4 2 2 \cdot{4 \sqrt{2}}^{2} ⋅ 4 2 2 Радиус согласуется с теоремой Пифагора.
6 Записываем ответ Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.
Ответ: 4.
Итоги решения и проверки Что проверяем Результат Искомая величина Радиус описанной окружности квадрата Ответ 4 4 4
Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.
2 КАК РЕШАТЬ Памятка Порядок действий для задач этого типа Определите, окружность касается сторон или проходит через вершины. Свяжите диаметр со стороной либо диагональю. При необходимости примените теорему Пифагора. Подставьте данные, выполните действия с корнями. Проверьте обратную связь с радиусом. 3 ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ Что нужно знать Основные понятия и правила для этого задания В квадрате все стороны равны, все углы прямые. Радиус вдвое меньше диаметра. d = a 2 d=a\sqrt{2} d = a 2 S = a 2 S=a^2 S = a 2 4 ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ Типичные ошибки На что обратить внимание при самопроверке Не путайте вписанную и описанную окружности. У описанной окружности диаметр — диагональ квадрата; у вписанной диаметр равен стороне. Квадрат длины и сама длина — разные величины. Все задания №16 (312) 
