Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ CD2C58295 из 312

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 15/17. Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.

Прямоугольник с диагональю и описанной окружностью

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание CD2C58.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 120.

Что нужно найти

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Идея решения

Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности. Она делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. По синусу найдём один катет, по теореме Пифагора — второй, затем перемножим стороны.

Диаметр окружности d
1717
Синус угла
1517\dfrac{15}{17}
Найти
площадь прямоугольника

Выделяем прямоугольный треугольник

Назовём вершины прямоугольника A, B, C, D. Пусть заданный угол α расположен между AB и диагональю AC. Тогда AC — гипотенуза, BC — противолежащий катет.

  • AC = d — диагональ
  • BC = b — напротив α
  • AB = a — вторая сторона
ACAC=d,AB=d,\quad AB
=a,BC=a,\quad BC
=b=b
sin⁡α\sin\alpha=bd=\frac bd

Если в исходном рисунке выбран угол с другой стороной, роли a и b меняются, а их произведение остаётся тем же.

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.
Обозначения на чертеже
  • AC = d — диагональ
  • BC = b — напротив α
  • AB = a — вторая сторона
Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.
Открыть схему крупнее ↗

Находим сторону по синусу

Умножаем обе части sin α = b/d на d.

  • BC = b — напротив α
bb=dsin⁡α=d\sin\alpha
bb=17=17⋅1517\cdot\frac{15}{17}
=17⋅1517=\frac{17\cdot15}{17}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=25517=\frac{255}{17}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=15=15

Нашли длину одной стороны прямоугольника.

Вычисляем квадрат другой стороны

Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

  • BC = b — напротив α
  • AB = a — вторая сторона
a2a^2=d2=d^2−b2-b^2
a2a^2=172={17}^{2}−152-{15}^{2}
=289=289−225-225
=64=64

Пока получили квадрат длины a.

Находим длину стороны a

Извлекаем положительный квадратный корень.

  • AB = a — вторая сторона
aa=64=\sqrt{64}
=8=8

Длина не может быть отрицательной.

Вычисляем площадь прямоугольника

Умножаем две найденные стороны. Здесь не нужен множитель 1/2.

SS=8=8⋅15\cdot15
=120=120

Получили площадь всего прямоугольника.

Проверяем диагональ и синус

Проверим теорему Пифагора и отношение катета к гипотенузе.

82{8}^{2}+152+{15}^{2}=289=289
1517\frac{15}{17}=1517=\frac{15}{17}

Оба равенства согласуются с данными задачи.

Записываем ответ

Мы нашли площадь. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

120120

Ответ: 120.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу
Ответ120120

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Возьмите диагональ за гипотенузу.
  2. Найдите противолежащий катет b = d sin α.
  3. Найдите другой катет по Пифагору.
  4. Перемножьте стороны.
  5. Проверьте сумму квадратов сторон и исходный синус.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в серединах.
  • Центр описанной окружности — точка пересечения диагоналей.
  • sin⁡α=b/d\sin\alpha=b/d и a2+b2=d2a^2+b^2=d^2.
  • S=abS=ab — площадь прямоугольника.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Дан диаметр, а не радиус: его не нужно дополнительно удваивать.
  • Найденный по синусу катет — только одна сторона; для площади нужна и вторая.
  • Не делите произведение сторон на 2: требуется площадь прямоугольника, а не половины.
Все задания №16 (312)