Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ 748A0C31 из 312

Катет треугольника по радиусу описанной окружности

Центр окружности, описанной около треугольника ABC , лежит на стороне AB . Радиус окружности равен 8,5. Найдите BC , если AC=8 .

Рисунок из условия ФИПИ 748A0C

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 748A0C.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 15.

Что нужно найти

Катет треугольника по радиусу описанной окружности

Идея решения

Сторона AB проходит через центр окружности, значит, это диаметр 2R. Угол C прямой. Найдём неизвестный катет по теореме Пифагора: из квадрата гипотенузы вычтем квадрат известного катета.

Радиус R
8,58{,}5
Катет AC
88
Найти
BC

Находим гипотенузу

AB проходит через центр O, поэтому это диаметр. Угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.

  • AB = 2R
ABAB=2R=2R

В треугольнике ABC гипотенуза — AB.

Центр O — середина гипотенузы AB

Центр O — середина гипотенузы AB. Прямой угол расположен при вершине C.
Обозначения на чертеже
  • AB = 2R
  • BC — искомый катет
  • AC известен
Центр O — середина гипотенузы AB. Прямой угол расположен при вершине C.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем длину диаметра

Удваиваем радиус.

  • AB = 2R
ABAB=2=2⋅8,5\cdot8{,}5
=17=17

Теперь длина гипотенузы известна.

Выражаем квадрат неизвестного катета

Из равенства Пифагора переносим квадрат известного катета в другую часть с минусом.

  • AB = 2R
  • BC — искомый катет
  • AC известен
AB2AB^2=AC2=AC^2+BC2+BC^2
BC2BC^2=AB2=AB^2−AC2-AC^2

Вычитаем меньший квадрат из большего.

Считаем квадраты и их разность

Каждую длину сначала умножаем саму на себя, затем выполняем вычитание.

  • AB = 2R
  • BC — искомый катет
  • AC известен
AB2AB^2=172={17}^{2}
=17=17⋅17\cdot17
=289=289
AC2AC^2=82={8}^{2}
=8=8⋅8\cdot8
=64=64
BC2BC^2=289=289−64-64
=225=225

Пока получили квадрат нужной длины.

Извлекаем положительный корень

Длина положительна. Выбираем положительное число, квадрат которого получился на предыдущем шаге.

  • BC — искомый катет
BCBC=225=\sqrt{225}
=15=15

Проверим его по исходной теореме.

Проверяем катеты

Сумма квадратов двух катетов должна равняться квадрату диаметра.

152{15}^{2}+82+{8}^{2}=289=289

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

1515

Ответ: 15.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаКатет треугольника по радиусу описанной окружности
Ответ1515

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите диаметр AB = 2R.
  2. Объясните, почему угол C прямой.
  3. Вычислите квадрат AB и квадрат известного катета.
  4. Вычтите квадраты и извлеките положительный корень.
  5. Проверьте сумму квадратов двух катетов.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диаметр равен двум радиусам.
  • Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
  • AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2 — теорема Пифагора для этой задачи.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Гипотенуза равна 2R, а не R.
  • Для поиска катета квадраты вычитают; для гипотенузы — складывают.
  • После нахождения квадрата катета нужно извлечь корень.
Все задания №16 (312)