Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ F83E67225 из 312

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Рисунок из условия ФИПИ F83E67

Сторона равностороннего треугольника равна 4 3 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F83E67.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 2.

Что нужно найти

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Идея решения

В равностороннем треугольнике центр лежит на высоте. Он делит её в отношении 2 : 1 от вершины. Поэтому радиус вписанной окружности составляет треть высоты, а описанной — две трети. Через высоту свяжем радиус и сторону.

Известно
Сторона a = 434 \sqrt{3}
Найти
r

Определяем, какой радиус участвует

Обозначим высоту CH, а центр — O. Расстояние от O до стороны AB — перпендикуляр OH, то есть радиус r вписанной окружности.

  • AB = a
  • r = 2
  • CH — высота
  • CO : OH = 2 : 1
rr=OH=OH

На схеме радиус выделен зелёным, высота проходит через O и H.

Центр O делит высоту CH на части CO и OH

Центр O делит высоту CH на части CO и OH. Радиус r выделен зелёным.
Обозначения на чертеже
  • AB = a
  • r = 2
  • CH — высота
  • CO : OH = 2 : 1
Центр O делит высоту CH на части CO и OH. Радиус r выделен зелёным.
Открыть схему крупнее ↗

Связываем высоту со стороной

Высота делит равносторонний треугольник на два прямоугольных. Их гипотенуза равна a, один катет равен a/2. По теореме Пифагора находим второй катет — высоту.

  • AB = a
h2h^2=a2=a^2−(a2)2-\left(\frac a2\right)^2
=3a24=\frac{3a^2}{4}
hh=a32=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Длина положительна, поэтому берём положительный корень.

Получаем формулу радиуса

В равностороннем треугольнике высота одновременно является медианой. Центр O — точка пересечения медиан; он делит CH в отношении CO : OH = 2 : 1, считая от вершины C. Значит, вся высота состоит из трёх равных частей: на OH приходится одна часть, на CO — две. Поэтому r = OH = h/3.

  • AB = a
  • r = 2
  • CO : OH = 2 : 1
rr=h/3=h/3
rr=a36=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Подставили выражение для h и сократили числовые множители.

Подставляем сторону и считаем

Подставляем a=43a=4 \sqrt{3}. Сначала перемножим корни: 3⋅3=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. Затем разделим числитель на 6.

  • AB = a
  • r = 2
rr=43⋅36=\frac{4 \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}
=126=\frac{12}{6}
=2=2

Все преобразования точные; округлять корни не нужно.

Проверяем по обратной формуле

Выразим сторону через найденный радиус; должна получиться исходная длина.

  • AB = a
aa=2=2⋅2\cdot2⋅3\cdot\sqrt{3}
=43=4 \sqrt{3}

Восстановили данную сторону.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

22

Ответ: 2.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаРадиус вписанной окружности равностороннего треугольника
Ответ22

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите, дан радиус до стороны или до вершины.
  2. Свяжите радиус с высотой.
  3. Запишите высоту через сторону.
  4. Подставьте данные и выполните действия с корнями.
  5. Проверьте значение обратной подстановкой.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Медиана, высота и биссектриса равностороннего треугольника совпадают.
  • Центр делит медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
  • Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
  • Вписанная окружность касается сторон; описанная проходит через вершины.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте r и R: в равностороннем треугольнике R = 2r.
  • В расстоянии до стороны нужен перпендикуляр, а не отрезок к вершине.
  • При умножении двух корней 3⋅3=3\sqrt3\cdot\sqrt3=3.
Все задания №16 (312)