Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу

Question

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 24, а $tg BCA = 3/4$ . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Answer 1

Что нужно найти

Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу

Идея решения

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике BOC найдём OC, затем OB по тангенсу и BC по теореме Пифагора. Радиус — высота из O к BC; её найдём, выразив площадь BOC двумя способами.

Диагональ AC: $24$
Тангенс угла BCA: $0{,}75$
Найти: радиус r

Рассматриваем четверть ромба

Обозначим пересечение диагоналей через O. Диагонали делятся пополам и перпендикулярны, поэтому BOC — прямоугольный треугольник. Лучи CA и CO совпадают, значит, угол BCA равен BCO.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC

OC

=AC/2

\angle BOC

=90^\circ

Вся диагональ AC состоит из двух одинаковых отрезков AO и OC.

Диагонали пересекаются в O под прямым углом. Радиус OH — высота треугольника BOC к его гипотенузе BC.

Находим половину диагонали

Разделим AC на 2.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA

OC

=\frac{24}{2}

=12

Этот отрезок прилежит к углу BCO.

Находим второй катет по тангенсу

Тангенс — отношение противолежащего катета OB к прилежащему OC. Умножаем обе части на OC.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC

\operatorname{tg}\angle BCA

=\frac{OB}{OC}

OB

=OC

\cdot\operatorname{tg}\angle BCA

OB

=12

\cdot0{,}75

=9

Теперь известны оба катета BOC.

Находим гипотенузу BC

Возводим катеты в квадрат, складываем результаты и извлекаем положительный корень.

BC — гипотенуза BOC
OH = r, OH ⟂ BC

BC^2

={12}^{2}

+{9}^{2}

=144

+81

=225

BC

=\sqrt{225}

=15

Получили длину стороны ромба.

Выражаем радиус через площадь

Площадь BOC равна половине произведения катетов. Если взять BC за основание, соответствующей высотой будет радиус OH = r. Приравняем два выражения.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC
OH = r, OH ⟂ BC

\frac{OB\cdot OC}{2}

=\frac{BC\cdot r}{2}

r

=\frac{OB\cdot OC}{BC}

Умножили обе части на 2 и разделили на BC.

Вычисляем радиус

Перемножим катеты и разделим на гипотенузу.

OH = r, OH ⟂ BC

r

=\frac{9\cdot12}{15}

=\frac{108}{15}

=\frac{108:3}{15:3}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 3.

=\frac{36}{5}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

=7{,}2

Это расстояние от центра до стороны, а не до вершины.

Проверяем площадь BOC

Сравним произведения катетов и гипотенузы на радиус.

9

\cdot12

=108

15

\cdot7{,}2

=108

Они равны, поэтому оба способа дают одинаковую площадь.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

7{,}2

Ответ: 7,2.

Answer 2

Что нужно найти

Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу

Answer 3

Идея решения

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике BOC найдём OC, затем OB по тангенсу и BC по теореме Пифагора. Радиус — высота из O к BC; её найдём, выразив площадь BOC двумя способами.

Answer 4

Диагональ AC

24

Тангенс угла BCA

0{,}75

Найти

радиус r

Answer 5

Рассматриваем четверть ромба

Обозначим пересечение диагоналей через O. Диагонали делятся пополам и перпендикулярны, поэтому BOC — прямоугольный треугольник. Лучи CA и CO совпадают, значит, угол BCA равен BCO.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC

OC

=AC/2

\angle BOC

=90^\circ

Вся диагональ AC состоит из двух одинаковых отрезков AO и OC.

Answer 6

Почему это работает

Диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны. В BOC радиус вписанной окружности — высота к гипотенузе BC.

Answer 7

OC = AC / 2

OB = OC · tg BCA

BC — гипотенуза BOC

Answer 8

OC

=AC/2

\angle BOC

=90^\circ

Answer 9

\angle BOC

=90^\circ

Answer 10

Вся диагональ AC состоит из двух одинаковых отрезков AO и OC.

Answer 11

Диагонали пересекаются в O под прямым углом

$Диагонали пересекаются в O под прямым углом. Радиус OH — высота треугольника BOC к его гипотенузе BC.$

Обозначения на чертеже

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC
OH = r, OH ⟂ BC

Диагонали пересекаются в O под прямым углом. Радиус OH — высота треугольника BOC к его гипотенузе BC.

Открыть схему крупнее ↗

Answer 12

$Диагонали пересекаются в O под прямым углом. Радиус OH — высота треугольника BOC к его гипотенузе BC.$

Обозначения на чертеже

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC
OH = r, OH ⟂ BC

Answer 13

$Диагонали пересекаются в O под прямым углом. Радиус OH — высота треугольника BOC к его гипотенузе BC.$

Answer 14

Обозначения на чертеже

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC
OH = r, OH ⟂ BC

Answer 15

Открыть схему крупнее ↗

Answer 16

Находим половину диагонали

Разделим AC на 2.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA

OC

=\frac{24}{2}

=12

Этот отрезок прилежит к углу BCO.

Answer 17

OC = AC / 2

OB = OC · tg BCA

Answer 18

OC

=\frac{24}{2}

=12

Answer 19

OC

=\frac{24}{2}

Answer 20

Этот отрезок прилежит к углу BCO.

Answer 21

Находим второй катет по тангенсу

Тангенс — отношение противолежащего катета OB к прилежащему OC. Умножаем обе части на OC.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC

\operatorname{tg}\angle BCA

=\frac{OB}{OC}

OB

=OC

\cdot\operatorname{tg}\angle BCA

OB

=12

\cdot0{,}75

=9

Теперь известны оба катета BOC.

Answer 22

OC = AC / 2

OB = OC · tg BCA

BC — гипотенуза BOC

Answer 23

\operatorname{tg}\angle BCA

=\frac{OB}{OC}

OB

=OC

\cdot\operatorname{tg}\angle BCA

OB

=12

\cdot0{,}75

=9

Answer 24

\operatorname{tg}\angle BCA

=\frac{OB}{OC}

Answer 25

OB

=OC

\cdot\operatorname{tg}\angle BCA

Answer 26

OB

=12

\cdot0{,}75

Answer 27

Теперь известны оба катета BOC.

Answer 28

Находим гипотенузу BC

Возводим катеты в квадрат, складываем результаты и извлекаем положительный корень.

BC — гипотенуза BOC
OH = r, OH ⟂ BC

BC^2

={12}^{2}

+{9}^{2}

=144

+81

=225

BC

=\sqrt{225}

=15

Получили длину стороны ромба.

Answer 29

BC — гипотенуза BOC

OH = r, OH ⟂ BC

Answer 30

BC^2

={12}^{2}

+{9}^{2}

=144

+81

=225

BC

=\sqrt{225}

=15

Answer 31

BC^2

={12}^{2}

+{9}^{2}

Answer 32

BC

=\sqrt{225}

Answer 33

Получили длину стороны ромба.

Answer 34

Выражаем радиус через площадь

Площадь BOC равна половине произведения катетов. Если взять BC за основание, соответствующей высотой будет радиус OH = r. Приравняем два выражения.

OC = AC / 2
OB = OC · tg BCA
BC — гипотенуза BOC
OH = r, OH ⟂ BC

\frac{OB\cdot OC}{2}

=\frac{BC\cdot r}{2}

r

=\frac{OB\cdot OC}{BC}

Умножили обе части на 2 и разделили на BC.

Answer 35

OC = AC / 2

OB = OC · tg BCA

BC — гипотенуза BOC

OH = r, OH ⟂ BC

Answer 36

\frac{OB\cdot OC}{2}

=\frac{BC\cdot r}{2}

r

=\frac{OB\cdot OC}{BC}

Answer 37

\frac{OB\cdot OC}{2}

=\frac{BC\cdot r}{2}

Answer 38

r

=\frac{OB\cdot OC}{BC}

Answer 39

Умножили обе части на 2 и разделили на BC.

Answer 40

Вычисляем радиус

Перемножим катеты и разделим на гипотенузу.

OH = r, OH ⟂ BC

r

=\frac{9\cdot12}{15}

=\frac{108}{15}

=\frac{108:3}{15:3}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 3.

=\frac{36}{5}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

=7{,}2

Это расстояние от центра до стороны, а не до вершины.

Answer 41

OH = r, OH ⟂ BC

Answer 42

r

=\frac{9\cdot12}{15}

=\frac{108}{15}

=\frac{108:3}{15:3}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 3.

=\frac{36}{5}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

=7{,}2

Answer 43

r

=\frac{9\cdot12}{15}

Answer 44

=\frac{108}{15}

Answer 45

=\frac{108:3}{15:3}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 3.

Answer 46

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 3.

Answer 47

=\frac{36}{5}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

Answer 48

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

Answer 49

Это расстояние от центра до стороны, а не до вершины.

Answer 50

Проверяем площадь BOC

Сравним произведения катетов и гипотенузы на радиус.

9

\cdot12

=108

15

\cdot7{,}2

=108

Они равны, поэтому оба способа дают одинаковую площадь.

Answer 51

9

\cdot12

=108

15

\cdot7{,}2

=108

Answer 52

9

\cdot12

=108

Answer 53

15

\cdot7{,}2

=108

Answer 54

Они равны, поэтому оба способа дают одинаковую площадь.

Answer 55

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

7{,}2

Ответ: 7,2.

Answer 56

Ответ: 7,2.

Что проверяем	Результат
Искомая величина	Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу
Ответ	$7{,}2$

Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу

Разбираем шаг за шагом

Рассматриваем четверть ромба

Диагонали пересекаются в O под прямым углом

Находим половину диагонали

Находим второй катет по тангенсу

Находим гипотенузу BC

Выражаем радиус через площадь

Вычисляем радиус

Проверяем площадь BOC

Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу

Разбираем шаг за шагом

1Рассматриваем четверть ромба

Диагонали пересекаются в O под прямым углом

2Находим половину диагонали

3Находим второй катет по тангенсу

4Находим гипотенузу BC

5Выражаем радиус через площадь

6Вычисляем радиус

7Проверяем площадь BOC

8Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Рассматриваем четверть ромба

Находим половину диагонали

Находим второй катет по тангенсу

Находим гипотенузу BC

Выражаем радиус через площадь

Вычисляем радиус

Проверяем площадь BOC

Записываем ответ