Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ 4F371C80 из 312

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Рисунок из условия ФИПИ 4F371C

Сторона равностороннего треугольника равна 14 3 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 4F371C.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 14.

Что нужно найти

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Идея решения

В равностороннем треугольнике центр лежит на высоте. Он делит её в отношении 2 : 1 от вершины. Поэтому радиус вписанной окружности составляет треть высоты, а описанной — две трети. Через высоту свяжем радиус и сторону.

Известно
Сторона a = 14314 \sqrt{3}
Найти
R

Определяем, какой радиус участвует

Обозначим высоту CH, а центр — O. Отрезок OC соединяет центр с вершиной, поэтому это радиус R описанной окружности.

  • R = 14
  • CH — высота
RR=OC=OC

На схеме радиус выделен зелёным, высота проходит через O и H.

Центр O делит высоту CH на части CO и OH

Центр O делит высоту CH на части CO и OH. Радиус R выделен зелёным.
Обозначения на чертеже
  • AB = a
  • R = 14
  • CH — высота
  • CO : OH = 2 : 1
Центр O делит высоту CH на части CO и OH. Радиус R выделен зелёным.
Открыть схему крупнее ↗

Связываем высоту со стороной

Высота делит равносторонний треугольник на два прямоугольных. Их гипотенуза равна a, один катет равен a/2. По теореме Пифагора находим второй катет — высоту.

  • AB = a
h2h^2=a2=a^2−(a2)2-\left(\frac a2\right)^2
=3a24=\frac{3a^2}{4}
hh=a32=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Длина положительна, поэтому берём положительный корень.

Получаем формулу радиуса

В равностороннем треугольнике высота одновременно является медианой. Центр O — точка пересечения медиан; он делит CH в отношении CO : OH = 2 : 1, считая от вершины C. Значит, вся высота состоит из трёх равных частей: на OH приходится одна часть, на CO — две. Поэтому R = CO = 2h/3.

  • AB = a
  • R = 14
RR=2h3=\frac{2h}{3}
RR=a33=\frac{a\sqrt{3}}{3}

Подставили выражение для h и сократили числовые множители.

Подставляем сторону и считаем

Подставляем a=143a=14 \sqrt{3}. Сначала перемножим корни: 3⋅3=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. Затем разделим числитель на 3.

  • AB = a
  • R = 14
RR=143⋅33=\frac{14 \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}
=423=\frac{42}{3}
=14=14

Все преобразования точные; округлять корни не нужно.

Проверяем по обратной формуле

Выразим сторону через найденный радиус; должна получиться исходная длина.

  • AB = a
aa=14=14⋅3\cdot\sqrt{3}
=143=14 \sqrt{3}

Восстановили данную сторону.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

1414

Ответ: 14.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаРадиус описанной окружности равностороннего треугольника
Ответ1414

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите, дан радиус до стороны или до вершины.
  2. Свяжите радиус с высотой.
  3. Запишите высоту через сторону.
  4. Подставьте данные и выполните действия с корнями.
  5. Проверьте значение обратной подстановкой.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Медиана, высота и биссектриса равностороннего треугольника совпадают.
  • Центр делит медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
  • Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
  • Вписанная окружность касается сторон; описанная проходит через вершины.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте r и R: в равностороннем треугольнике R = 2r.
  • В расстоянии до стороны нужен перпендикуляр, а не отрезок к вершине.
  • При умножении двух корней 3⋅3=3\sqrt3\cdot\sqrt3=3.
Все задания №16 (312)