Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ EC1F63235 из 312

Угол между хордой и радиусом по двум касательным

Касательные в точках A  и B  к окружности
с центром в точке O  пересекаются под углом 72° . Найдите угол ABO . Ответ дайте в градусах.

Рисунок из условия ФИПИ EC1F63

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EC1F63.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 36.

Что нужно найти

Угол между хордой и радиусом по двум касательным

Идея решения

Обозначим точку пересечения касательных P. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным. Из суммы углов четырёхугольника OAPB найдём AOB. Затем в равнобедренном треугольнике AOB найдём угол ABO.

Угол между касательными
72∘72^\circ
Найти
Угол между хордой и радиусом по двум касательным

Отмечаем два прямых угла

Пусть P — точка пересечения касательных. Радиусы, проведённые в точки касания A и B, образуют с касательными прямые углы.

∠OAP\angle OAP=∠OBP=\angle OBP
=90∘=90^\circ

Известны три угла четырёхугольника OAPB.

Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным

Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным. Треугольник AOB равнобедренный.
Обозначения на чертеже
  • OA = OB — радиусы
  • PA и PB — касательные
  • ∠ABO — искомый
Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным. Треугольник AOB равнобедренный.
Открыть схему крупнее ↗

Находим угол при центре

Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Вычитаем два прямых угла и угол между касательными.

∠AOB\angle AOB=360=360−90-90−90-90−72-72
=180=180−72-72
=108∘=108^\circ

Угол AOB дополняет угол APB до 180°.

Используем равные радиусы

OA = OB, поэтому углы OAB и ABO равны. Их сумма равна 180° минус угол AOB.

  • OA = OB — радиусы
  • ∠ABO — искомый
∠ABO\angle ABO=180∘−∠AOB2=\frac{180^\circ-\angle AOB}{2}

Вычитаем угол при вершине и делим остаток поровну.

Вычисляем угол ABO

Сначала выполняем вычитание в числителе, затем делим на 2.

  • ∠ABO — искомый
∠ABO\angle ABO=180−1082=\frac{180-108}{2}
=722=\frac{72}{2}
=36∘=36^\circ

Найден угол между хордой BA и радиусом BO.

Проверяем треугольник AOB

Сложим два равных угла при основании и центральный угол.

3636+36+36+108+108=72=72+108+108

Сначала выполняем первое действие, затем переходим к следующему.

=180=180

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли угол в градусах. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

3636

Ответ: 36.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаУгол между хордой и радиусом по двум касательным
Ответ36∘36^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Отметьте известные и искомый углы.
  2. Найдите дугу, диаметр или прямую, связывающие их.
  3. Запишите соответствующее свойство углов.
  4. Подставьте числа и выполните вычисления по порядку.
  5. Проверьте найденное значение исходным равенством.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Вписанный угол имеет вершину на окружности; центральный — в её центре.
  • Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  • Сумма углов треугольника равна 180°.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не считайте угол ABO прямым: OB перпендикулярен касательной BP, а не хорде BA.
  • Проверяйте три буквы в обозначении угла: средняя буква — его вершина.
  • Не подставляйте соседний угол вместо нужного: сначала найдите общую дугу или прямую.
Все задания №16 (312)