Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ B404D2124 из 312

Высота трапеции по радиусу вписанной окружности

Рисунок из условия ФИПИ B404D2

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание B404D2.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 40.

Что нужно найти

Высота трапеции по радиусу вписанной окружности

Идея решения

Основания трапеции параллельны. Вписанная окружность касается обоих оснований, поэтому расстояние между ними равно двум радиусам — диаметру. Это расстояние и есть высота трапеции.

Радиус r
2020
Найти
высоту h

Проводим перпендикуляр между основаниями

Пусть окружность касается оснований в точках H и K, её центр — O. Радиусы OH и OK перпендикулярны основаниям и лежат на одной прямой.

  • OH = OK = r
  • HK = h = 2r
OHOH=OK=OK
=r=r

Отрезок HK — высота трапеции.

Радиусы OH и OK образуют один перпендикуляр между параллельными основаниями

Радиусы OH и OK образуют один перпендикуляр между параллельными основаниями. Их сумма равна высоте.
Обозначения на чертеже
  • AD ∥ BC
  • OH = OK = r
  • HK = h = 2r
Радиусы OH и OK образуют один перпендикуляр между параллельными основаниями. Их сумма равна высоте.
Открыть схему крупнее ↗

Складываем радиусы

Центр находится между основаниями, поэтому длина HK складывается из OH и OK.

  • OH = OK = r
  • HK = h = 2r
hh=HK=HK
=OH=OH+OK+OK
=r=r+r+r
=2r=2r

Условие о равнобедренной или прямоугольной трапеции не меняет эту связь.

Подставляем данное число

Данный радиус берём дважды.

  • HK = h = 2r
hh=20=20+20+20
=2=2⋅20\cdot20
=40=40

Получили высоту трапеции.

Проверяем результат

Половина высоты должна равняться радиусу.

402\frac{40}{2}=20=20

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

4040

Ответ: 40.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаВысота трапеции по радиусу вписанной окружности
Ответ4040

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите два параллельных основания.
  2. Проведите радиусы к точкам касания с ними.
  3. Сложите два радиуса.
  4. Проверьте, что половина высоты равна данному радиусу.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Высота трапеции — перпендикулярное расстояние между её основаниями.
  • Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
  • d=2rd=2r — связь диаметра и радиуса.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не принимайте радиус за высоту: между основаниями помещаются два радиуса.
  • Не используйте боковую сторону вместо высоты: она может быть наклонной.
Все задания №16 (312)