Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ A1E947273 из 312

Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу

Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ромб ABCD с вписанной окружностью

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A1E947.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 4,8.

Что нужно найти

Радиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу

Идея решения

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике BOC найдём OC, затем OB по тангенсу и BC по теореме Пифагора. Радиус — высота из O к BC; её найдём, выразив площадь BOC двумя способами.

Диагональ AC
1212
Тангенс угла BCA
43\dfrac{4}{3}
Найти
радиус r

Рассматриваем четверть ромба

Обозначим пересечение диагоналей через O. Диагонали делятся пополам и перпендикулярны, поэтому BOC — прямоугольный треугольник. Лучи CA и CO совпадают, значит, угол BCA равен BCO.

  • OC = AC / 2
  • OB = OC · tg BCA
  • BC — гипотенуза BOC
OCOC=AC/2=AC/2
∠BOC\angle BOC=90∘=90^\circ

Вся диагональ AC состоит из двух одинаковых отрезков AO и OC.

Диагонали пересекаются в O под прямым углом

Диагонали пересекаются в O под прямым углом. Радиус OH — высота треугольника BOC к его гипотенузе BC.
Обозначения на чертеже
  • OC = AC / 2
  • OB = OC · tg BCA
  • BC — гипотенуза BOC
  • OH = r, OH ⟂ BC
Диагонали пересекаются в O под прямым углом. Радиус OH — высота треугольника BOC к его гипотенузе BC.
Открыть схему крупнее ↗

Находим половину диагонали

Разделим AC на 2.

  • OC = AC / 2
  • OB = OC · tg BCA
OCOC=122=\frac{12}{2}
=6=6

Этот отрезок прилежит к углу BCO.

Находим второй катет по тангенсу

Тангенс — отношение противолежащего катета OB к прилежащему OC. Умножаем обе части на OC.

  • OC = AC / 2
  • OB = OC · tg BCA
  • BC — гипотенуза BOC
tg⁡∠BCA\operatorname{tg}\angle BCA=OBOC=\frac{OB}{OC}
OBOB=OC=OC⋅tg⁡∠BCA\cdot\operatorname{tg}\angle BCA
OBOB=6=6⋅43\cdot\frac{4}{3}
=6⋅43=\frac{6\cdot4}{3}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=243=\frac{24}{3}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=8=8

Теперь известны оба катета BOC.

Находим гипотенузу BC

Возводим катеты в квадрат, складываем результаты и извлекаем положительный корень.

  • BC — гипотенуза BOC
  • OH = r, OH ⟂ BC
BC2BC^2=62={6}^{2}+82+{8}^{2}
=36=36+64+64
=100=100
BCBC=100=\sqrt{100}
=10=10

Получили длину стороны ромба.

Выражаем радиус через площадь

Площадь BOC равна половине произведения катетов. Если взять BC за основание, соответствующей высотой будет радиус OH = r. Приравняем два выражения.

  • OC = AC / 2
  • OB = OC · tg BCA
  • BC — гипотенуза BOC
  • OH = r, OH ⟂ BC
OB⋅OC2\frac{OB\cdot OC}{2}=BC⋅r2=\frac{BC\cdot r}{2}
rr=OB⋅OCBC=\frac{OB\cdot OC}{BC}

Умножили обе части на 2 и разделили на BC.

Вычисляем радиус

Перемножим катеты и разделим на гипотенузу.

  • OH = r, OH ⟂ BC
rr=8⋅610=\frac{8\cdot6}{10}
=4810=\frac{48}{10}
=48:210:2=\frac{48:2}{10:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

=245=\frac{24}{5}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

=4,8=4{,}8

Это расстояние от центра до стороны, а не до вершины.

Проверяем площадь BOC

Сравним произведения катетов и гипотенузы на радиус.

88⋅6\cdot6=48=48
1010⋅4,8\cdot4{,}8=48=48

Они равны, поэтому оба способа дают одинаковую площадь.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

4,84{,}8

Ответ: 4,8.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаРадиус вписанной окружности ромба по диагонали и тангенсу
Ответ4,84{,}8

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Найдите OC = AC/2.
  2. Из tan BCA = OB/OC найдите OB.
  3. По Пифагору найдите BC.
  4. Приравняйте площади BOC: OB·OC/2 = BC·r/2.
  5. Найдите r = OB·OC/BC и проверьте площади.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • В ромбе все стороны равны.
  • Точка пересечения диагоналей делит каждую пополам.
  • tg⁡∠BCO=OB/OC\operatorname{tg}\angle BCO=OB/OC.
  • S=ab2=ch2S=\dfrac{ab}{2}=\dfrac{ch}{2} для прямоугольного треугольника.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • В тангенс подставляйте OC = AC/2, а не целую диагональ AC.
  • Не путайте OB с радиусом: радиус перпендикулярен стороне BC.
  • Площадь BOC можно считать через катеты или через гипотенузу и высоту, но нужно говорить об одном треугольнике.
Все задания №16 (312)