Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ A4486B229 из 312

Сторона четырёхугольника с вписанной окружностью

Рисунок из условия ФИПИ A4486B

Четырёхугольник ABCD  описан около окружности, AB=4 , BC=12 , CD=21 . Найдите AD .

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A4486B.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 13.

Что нужно найти

Сторона четырёхугольника с вписанной окружностью

Идея решения

Каждая сторона касается одной окружности. Отрезки касательных из одной вершины равны. Поэтому суммы противоположных сторон совпадают: AB + CD = BC + AD. Выразим AD и подставим три известные длины.

AB
44
BC
1212
CD
2121
Найти
AD

Объясняем равенство сумм

Обозначим длины касательных из вершин A, B, C, D через x, y, z, w. Каждая сторона состоит из двух таких отрезков.

  • AB + CD
  • BC + AD
ABAB=x=x+y,BC+y,\quad BC
=y=y+z+z
CDCD=z=z+w,AD+w,\quad AD
=w=w+x+x

Из каждой вершины два касательных отрезка равны, поэтому одна буква встречается в двух соседних сторонах.

Окружность касается всех сторон

Окружность касается всех сторон. Синим отмечена одна пара противоположных сторон, оранжевым — другая.
Обозначения на чертеже
  • AB + CD
  • BC + AD
  • Эти суммы равны
Окружность касается всех сторон. Синим отмечена одна пара противоположных сторон, оранжевым — другая.
Открыть схему крупнее ↗

Сравниваем противоположные стороны

В обеих суммах каждый из отрезков x, y, z, w встречается ровно один раз.

  • AB + CD
  • BC + AD
ABAB+CD+CD=x=x+y+y+z+z+w+w
BCBC+AD+AD=x=x+y+y+z+z+w+w
ABAB+CD+CD=BC=BC+AD+AD

Получили нужное свойство из равенства касательных.

Выражаем неизвестную сторону

Вычтем BC из обеих частей равенства.

  • AB + CD
  • BC + AD
ADAD=AB=AB+CD+CD−BC-BC

Сначала найдём сумму двух известных противоположных сторон.

Вычисляем AD

Подставим длины сторон и посчитаем по порядку.

  • AB + CD
  • BC + AD
ABAB+CD+CD=4=4+21+21
=25=25
ADAD=25=25−12-12
=13=13

Получилась положительная длина.

Проверяем равенство сумм

Отдельно вычислим обе суммы противоположных сторон.

  • AB + CD
  • BC + AD
ABAB+CD+CD=4=4+21+21
=25=25
BCBC+AD+AD=12=12+13+13
=25=25

Суммы совпали.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

1313

Ответ: 13.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаСторона четырёхугольника с вписанной окружностью
Ответ1313

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Убедитесь, что окружность касается всех четырёх сторон.
  2. Запишите равенство сумм противоположных сторон.
  3. Выразите неизвестную сторону.
  4. Сначала сложите AB и CD, затем вычтите BC.
  5. Проверьте обе суммы противоположных сторон.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Описанный четырёхугольник всеми сторонами касается окружности.
  • Два отрезка касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
  • AB+CD=BC+ADAB+CD=BC+AD — следствие равенства касательных.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не складывайте соседние стороны вместо противоположных.
  • Не путайте описанный четырёхугольник со вписанным: у вписанного на окружности лежат вершины.
  • Перенося BC в другую часть равенства, меняйте знак на минус.
Все задания №16 (312)