Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ BC3721105 из 312

Углы при двух диаметрах окружности

В окружности с центром в точке O  отрезки AC  и BD   —  диаметры. Угол AOD  равен 108° . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Рисунок из условия ФИПИ BC3721

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание BC3721.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 36.

Что нужно найти

Углы при двух диаметрах окружности

Идея решения

Сначала свяжем вписанный угол ACB с центральным AOB: центральный вдвое больше. Затем используем, что OB и OD — противоположные лучи, так как BD является диаметром.

Известный угол AOD
108∘108^\circ
Найти
Углы при двух диаметрах окружности

Находим одну дугу для двух углов

Углы ACB и AOB опираются на дугу AB. Первый вписанный, второй центральный.

  • ∠AOB = 2∠ACB
  • ∠AOB + ∠AOD = 180°
∠AOB\angle AOB=2∠ACB=2\angle ACB

Только к этим двум углам применяется удвоение.

Диаметры AC и BD пересекаются в центре O

Диаметры AC и BD пересекаются в центре O. Угол ACB связан с AOB, а AOD дополняет AOB до 180°.
Обозначения на чертеже
  • ∠AOB = 2∠ACB
  • OB и OD — противоположные лучи
  • ∠AOB + ∠AOD = 180°
Диаметры AC и BD пересекаются в центре O. Угол ACB связан с AOB, а AOD дополняет AOB до 180°.
Открыть схему крупнее ↗

Используем диаметр BD

Точки B, O и D лежат на одной прямой. Углы AOB и AOD смежные.

  • ∠AOB = 2∠ACB
  • ∠AOB + ∠AOD = 180°
∠AOB\angle AOB+∠AOD+\angle AOD=180∘=180^\circ

Сумма этих центральных углов равна развёрнутому углу.

Находим центральный угол AOB

Из 180° вычитаем данный угол AOD.

  • ∠AOB = 2∠ACB
  • ∠AOB + ∠AOD = 180°
∠AOB\angle AOB=180=180−108-108
=72∘=72^\circ

Получили центральный угол, опирающийся на нужную дугу AB.

Переходим к вписанному углу

Вписанный угол вдвое меньше центрального на той же дуге.

  • ∠AOB = 2∠ACB
  • ∠AOB + ∠AOD = 180°
∠ACB\angle ACB=722=\frac{72}{2}
=36∘=36^\circ

Деление на 2 относится к углу AOB.

Проверяем два соотношения

Удвоим угол ACB и прибавим угол AOD. Должно получиться 180°.

  • ∠AOB = 2∠ACB
  • ∠AOB + ∠AOD = 180°
22⋅36\cdot36+108+108=180=180

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли угол в градусах. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

3636

Ответ: 36.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаУглы при двух диаметрах окружности
Ответ36∘36^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Отметьте известные и искомый углы.
  2. Найдите дугу, диаметр или прямую, связывающие их.
  3. Запишите соответствующее свойство углов.
  4. Подставьте числа и выполните вычисления по порядку.
  5. Проверьте найденное значение исходным равенством.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Вписанный угол имеет вершину на окружности; центральный — в её центре.
  • Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  • Сумма углов треугольника равна 180°.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не делите угол AOD пополам напрямую: он опирается на другую дугу.
  • Проверяйте три буквы в обозначении угла: средняя буква — его вершина.
  • Не подставляйте соседний угол вместо нужного: сначала найдите общую дугу или прямую.
Все задания №16 (312)