Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ CF5BF121 из 312

Сторона квадрата по радиусу описанной окружности

Рисунок из условия ФИПИ CF5BF1

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4 2 . Найдите длину стороны этого квадрата.

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание CF5BF1.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 8.

Что нужно найти

Сторона квадрата по радиусу описанной окружности

Идея решения

Сначала определим положение окружности. Она проходит через вершины квадрата. Диагональ квадрата проходит через центр окружности, поэтому равна диаметру 2R. Затем применим теорему Пифагора.

Дано
R=42R=4 \sqrt{2}
Найти
Сторона квадрата по радиусу описанной окружности

Разбираемся, что является диаметром

Противоположные вершины A и C соединены диагональю. Она проходит через центр O, поэтому AC — диаметр окружности.

  • OC = R
  • AC = 2R
ACAC=2R=2R

Радиус составляет половину соответствующего диаметра.

Окружность проходит через вершины квадрата

Окружность проходит через вершины квадрата. Диагональ AC — диаметр.
Обозначения на чертеже
  • AB = a
  • OC = R
  • AC = 2R
Окружность проходит через вершины квадрата. Диагональ AC — диаметр.
Открыть схему крупнее ↗

Объясняем формулу диагонали

Диагональ AC делит квадрат на два прямоугольных треугольника. Оба катета в каждом равны a.

  • AB = a
  • AC = 2R
AC2AC^2=a2=a^2+a2+a^2
=2a2=2a^2
ACAC=a2=a\sqrt{2}

Берём положительный корень, так как длина положительна.

Выражаем сторону

Приравняем два выражения для диагонали и разделим на 2\sqrt{2}. Для устранения корня в знаменателе домножим дробь на 2/2\sqrt{2}/\sqrt{2}.

  • AB = a
  • OC = R
a2a\sqrt{2}=2R=2R
aa=2R2=\frac{2R}{\sqrt{2}}
=2R22=\frac{2R\sqrt{2}}{2}
=R2=R\sqrt{2}

Получилась формула стороны через радиус описанной окружности.

Подставляем радиус

Умножаем данное значение R на 2\sqrt{2}.

  • AB = a
  • OC = R
aa=42=4 \sqrt{2}⋅2\cdot\sqrt{2}
=4=4⋅2\cdot2

Перемножаем одинаковые корни: 2⋅2=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.

=8=8

Два одинаковых корня дают число 2.

Проверяем радиус по стороне

Найдём половину диагонали через полученную сторону.

  • OC = R
RR=8⋅22=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{2}
=42=4 \sqrt{2}

Вернулись к исходному радиусу.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

88

Ответ: 8.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаСторона квадрата по радиусу описанной окружности
Ответ88

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Определите, окружность касается сторон или проходит через вершины.
  2. Свяжите диаметр со стороной либо диагональю.
  3. При необходимости примените теорему Пифагора.
  4. Подставьте данные, выполните действия с корнями.
  5. Проверьте обратную связь с радиусом.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • В квадрате все стороны равны, все углы прямые.
  • Радиус вдвое меньше диаметра.
  • d=a2d=a\sqrt{2} — диагональ квадрата.
  • S=a2S=a^2 — площадь квадрата.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не путайте вписанную и описанную окружности.
  • У описанной окружности диаметр — диагональ квадрата; у вписанной диаметр равен стороне.
  • Квадрат длины и сама длина — разные величины.
Все задания №16 (312)