Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ F0857F281 из 312

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Рисунок из условия ФИПИ F0857F

Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F0857F.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 48.

Что нужно найти

Площадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу

Идея решения

Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности. Она делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. По синусу найдём один катет, по теореме Пифагора — второй, затем перемножим стороны.

Диаметр окружности d
1010
Синус угла
0,80{,}8
Найти
площадь прямоугольника

Выделяем прямоугольный треугольник

Назовём вершины прямоугольника A, B, C, D. Пусть заданный угол α расположен между AB и диагональю AC. Тогда AC — гипотенуза, BC — противолежащий катет.

  • AC = d — диагональ
  • BC = b — напротив α
  • AB = a — вторая сторона
ACAC=d,AB=d,\quad AB
=a,BC=a,\quad BC
=b=b
sin⁡α\sin\alpha=bd=\frac bd

Если в исходном рисунке выбран угол с другой стороной, роли a и b меняются, а их произведение остаётся тем же.

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности

Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.
Обозначения на чертеже
  • AC = d — диагональ
  • BC = b — напротив α
  • AB = a — вторая сторона
Диагональ AC — гипотенуза треугольника ABC и диаметр окружности. Против угла α расположен катет BC.
Открыть схему крупнее ↗

Находим сторону по синусу

Умножаем обе части sin α = b/d на d.

  • BC = b — напротив α
bb=dsin⁡α=d\sin\alpha
bb=10=10⋅0,8\cdot0{,}8
=8=8

Нашли длину одной стороны прямоугольника.

Вычисляем квадрат другой стороны

Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета.

  • BC = b — напротив α
  • AB = a — вторая сторона
a2a^2=d2=d^2−b2-b^2
a2a^2=102={10}^{2}−82-{8}^{2}
=100=100−64-64
=36=36

Пока получили квадрат длины a.

Находим длину стороны a

Извлекаем положительный квадратный корень.

  • AB = a — вторая сторона
aa=36=\sqrt{36}
=6=6

Длина не может быть отрицательной.

Вычисляем площадь прямоугольника

Умножаем две найденные стороны. Здесь не нужен множитель 1/2.

SS=6=6⋅8\cdot8
=48=48

Получили площадь всего прямоугольника.

Проверяем диагональ и синус

Проверим теорему Пифагора и отношение катета к гипотенузе.

62{6}^{2}+82+{8}^{2}=100=100
810\frac{8}{10}
=8:210:2=\frac{8:2}{10:2}

Сокращаем дробь: делим и числитель, и знаменатель на 2.

=45=\frac{4}{5}

Выполняем деление в числителе и знаменателе. Значение дроби сохраняется.

=0,8=0{,}8

Оба равенства согласуются с данными задачи.

Записываем ответ

Мы нашли площадь. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

4848

Ответ: 48.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаПлощадь прямоугольника по диаметру окружности и синусу
Ответ4848

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Возьмите диагональ за гипотенузу.
  2. Найдите противолежащий катет b = d sin α.
  3. Найдите другой катет по Пифагору.
  4. Перемножьте стороны.
  5. Проверьте сумму квадратов сторон и исходный синус.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в серединах.
  • Центр описанной окружности — точка пересечения диагоналей.
  • sin⁡α=b/d\sin\alpha=b/d и a2+b2=d2a^2+b^2=d^2.
  • S=abS=ab — площадь прямоугольника.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Дан диаметр, а не радиус: его не нужно дополнительно удваивать.
  • Найденный по синусу катет — только одна сторона; для площади нужна и вторая.
  • Не делите произведение сторон на 2: требуется площадь прямоугольника, а не половины.
Все задания №16 (312)