Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 16 · ФИПИ 1B393E247 из 312

Угол ABD через углы, опирающиеся на одну дугу

Четырёхугольник ABCD  вписан в окружность. Угол ABC  равен 112° , угол CAD  равен 70° . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Рисунок из условия ФИПИ 1B393E

Длинные формулы можно прокрутить вбок. Нажмите на рисунок, чтобы открыть его крупнее.

Введите число; отрицательный ответ — со знаком минус. Запятая и точка равнозначны. Кнопка ± меняет знак.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1B393E.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 42.

Что нужно найти

Угол ABD через углы, опирающиеся на одну дугу

Идея решения

Углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD, поэтому равны. Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC. Вычтем известную часть из целого.

Угол ABC
112∘112^\circ
Угол CAD
70∘70^\circ
Найти
Угол ABD через углы, опирающиеся на одну дугу

Находим равные вписанные углы

Одна сторона угла CAD проходит через C, другая через D. У угла CBD те же концы дуги — C и D.

  • ∠CAD = ∠CBD
  • BD делит угол ABC
∠CBD\angle CBD=∠CAD=\angle CAD
=70∘=70^\circ

Нашли часть угла ABC при вершине B.

Углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD

Углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD. Диагональ BD разбивает угол ABC на две части.
Обозначения на чертеже
  • ∠CAD = ∠CBD
  • BD делит угол ABC
  • Дуга CD общая
Углы CAD и CBD опираются на одну дугу CD. Диагональ BD разбивает угол ABC на две части.
Открыть схему крупнее ↗

Разбиваем большой угол на части

Луч BD проходит внутри угла ABC. Поэтому весь угол равен сумме углов ABD и DBC.

  • ∠CAD = ∠CBD
  • BD делит угол ABC
∠ABC\angle ABC=∠ABD=\angle ABD+∠DBC+\angle DBC

DBC и CBD — обозначения одного и того же угла при B.

Выражаем искомый угол

Используем найденное равенство углов на одной дуге.

  • ∠CAD = ∠CBD
  • BD делит угол ABC
∠ABD\angle ABD=∠ABC=\angle ABC−∠CAD-\angle CAD

Теперь в правой части стоят только данные из условия.

Выполняем вычисление

Вычитаем меньшую часть из большого угла.

∠ABD\angle ABD=112=112−70-70
=42∘=42^\circ

Получили требуемый угол.

Проверяем разбиение угла

Сумма двух частей при B должна давать весь угол ABC.

  • BD делит угол ABC
4242+70+70=112=112

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли угол в градусах. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

4242

Ответ: 42.

Итоги решения и проверки
Что проверяемРезультат
Искомая величинаУгол ABD через углы, опирающиеся на одну дугу
Ответ42∘42^\circ

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Отметьте известные и искомый углы.
  2. Найдите дугу, диаметр или прямую, связывающие их.
  3. Запишите соответствующее свойство углов.
  4. Подставьте числа и выполните вычисления по порядку.
  5. Проверьте найденное значение исходным равенством.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Вписанный угол имеет вершину на окружности; центральный — в её центре.
  • Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  • Сумма углов треугольника равна 180°.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не приравнивайте углы по похожему расположению: сначала проверьте, что их стороны проходят через C и D.
  • Проверяйте три буквы в обозначении угла: средняя буква — его вершина.
  • Не подставляйте соседний угол вместо нужного: сначала найдите общую дугу или прямую.
Все задания №16 (312)