Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу

Question

В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $60 °$ , $A B = 12 \sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Answer 1

Что нужно найти

Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу

Идея решения

Сторона AB лежит напротив угла C. По расширенной теореме синусов AB = 2R · sin C. Найдём синус известного угла, затем разделим AB на удвоенный синус.

Угол C: $60^\circ$
Сторона AB: $12 \sqrt{3}$
Найти: радиус R

Связываем сторону с диаметром

Проведём через вершину A диаметр окружности. Треугольник, образованный этим диаметром и хордой AB, прямоугольный. Отношение AB к диаметру равно синусу угла, опирающегося на AB. Для тупого C используется смежный острый угол с тем же синусом.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

\sin C

=\frac{AB}{2R}

AB

=2R\sin C

В знаменателе стоит диаметр 2R, а не радиус R.

Хорда AB лежит напротив угла C. Зелёные отрезки OA и OB — радиусы описанной окружности.

Находим синус заданного угла

Это стандартный острый угол. Вспомним его точное значение синуса.

\sin 60^\circ

=\frac{\sqrt{3}}{2}

В прямоугольной половине равностороннего треугольника катет напротив 60° равен a√3/2, гипотенуза — a; их отношение равно √3/2.

Выражаем радиус

Разделим обе части AB = 2R sin C на положительное число 2 sin C.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

R

=\frac{AB}{2\sin C}

Знаменатель — произведение 2 и найденного синуса.

Упрощаем знаменатель

Сначала умножим точное значение синуса на 2.

2

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{2 \sqrt{3}}{2}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=\sqrt{3}

Двойка сокращается со знаменателем дроби для синуса.

Подставляем сторону и вычисляем радиус

Теперь разделим сторону AB на упрощённый знаменатель. Если в числителе и знаменателе одинаковый корень, сокращаем его как общий ненулевой множитель.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

R

=\frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

=12

Получили точный радиус.

Проверяем сторону

Подставим R обратно в AB = 2R sin C.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

2

\cdot12

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

=12 \sqrt{3}

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

12

Ответ: 12.

Answer 2

Что нужно найти

Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу

Answer 3

Идея решения

Сторона AB лежит напротив угла C. По расширенной теореме синусов AB = 2R · sin C. Найдём синус известного угла, затем разделим AB на удвоенный синус.

Answer 4

Угол C

60^\circ

Сторона AB

12 \sqrt{3}

Найти

радиус R

Answer 5

Связываем сторону с диаметром

Проведём через вершину A диаметр окружности. Треугольник, образованный этим диаметром и хордой AB, прямоугольный. Отношение AB к диаметру равно синусу угла, опирающегося на AB. Для тупого C используется смежный острый угол с тем же синусом.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

\sin C

=\frac{AB}{2R}

AB

=2R\sin C

В знаменателе стоит диаметр 2R, а не радиус R.

Answer 6

Почему это работает

Сторона треугольника равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.

Answer 7

AB — сторона напротив C

OA = OB = R

Answer 8

\sin C

=\frac{AB}{2R}

AB

=2R\sin C

Answer 9

\sin C

=\frac{AB}{2R}

Answer 10

AB

=2R\sin C

Answer 11

В знаменателе стоит диаметр 2R, а не радиус R.

Answer 12

Хорда AB лежит напротив угла C

$Хорда AB лежит напротив угла C. Зелёные отрезки OA и OB — радиусы описанной окружности.$

Обозначения на чертеже

AB — сторона напротив C
OA = OB = R
Угол C дан

Хорда AB лежит напротив угла C. Зелёные отрезки OA и OB — радиусы описанной окружности.

Открыть схему крупнее ↗

Answer 13

$Хорда AB лежит напротив угла C. Зелёные отрезки OA и OB — радиусы описанной окружности.$

Обозначения на чертеже

AB — сторона напротив C
OA = OB = R
Угол C дан

Answer 14

$Хорда AB лежит напротив угла C. Зелёные отрезки OA и OB — радиусы описанной окружности.$

Answer 15

Обозначения на чертеже

AB — сторона напротив C
OA = OB = R
Угол C дан

Answer 16

Открыть схему крупнее ↗

Answer 17

Находим синус заданного угла

Это стандартный острый угол. Вспомним его точное значение синуса.

\sin 60^\circ

=\frac{\sqrt{3}}{2}

В прямоугольной половине равностороннего треугольника катет напротив 60° равен a√3/2, гипотенуза — a; их отношение равно √3/2.

Answer 18

\sin 60^\circ

=\frac{\sqrt{3}}{2}

Answer 19

\sin 60^\circ

=\frac{\sqrt{3}}{2}

Answer 20

В прямоугольной половине равностороннего треугольника катет напротив 60° равен a√3/2, гипотенуза — a; их отношение равно √3/2.

Answer 21

Выражаем радиус

Разделим обе части AB = 2R sin C на положительное число 2 sin C.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

R

=\frac{AB}{2\sin C}

Знаменатель — произведение 2 и найденного синуса.

Answer 22

AB — сторона напротив C

OA = OB = R

Answer 23

R

=\frac{AB}{2\sin C}

Answer 24

R

=\frac{AB}{2\sin C}

Answer 25

Знаменатель — произведение 2 и найденного синуса.

Answer 26

Упрощаем знаменатель

Сначала умножим точное значение синуса на 2.

2

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{2 \sqrt{3}}{2}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=\sqrt{3}

Двойка сокращается со знаменателем дроби для синуса.

Answer 27

2

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

=\frac{2 \sqrt{3}}{2}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

=\sqrt{3}

Answer 28

2

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

Answer 29

=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

Answer 30

Умножаем число на числитель дроби; знаменатель остаётся прежним.

Answer 31

=\frac{2 \sqrt{3}}{2}

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

Answer 32

Считаем произведение в числителе, затем делим на знаменатель.

Answer 33

Двойка сокращается со знаменателем дроби для синуса.

Answer 34

Подставляем сторону и вычисляем радиус

Теперь разделим сторону AB на упрощённый знаменатель. Если в числителе и знаменателе одинаковый корень, сокращаем его как общий ненулевой множитель.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

R

=\frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

=12

Получили точный радиус.

Answer 35

AB — сторона напротив C

OA = OB = R

Answer 36

R

=\frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

=12

Answer 37

R

=\frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}

Answer 38

Получили точный радиус.

Answer 39

Проверяем сторону

Подставим R обратно в AB = 2R sin C.

AB — сторона напротив C
OA = OB = R

2

\cdot12

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

=12 \sqrt{3}

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Answer 40

AB — сторона напротив C

OA = OB = R

Answer 41

2

\cdot12

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

=12 \sqrt{3}

Answer 42

2

\cdot12

\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

Answer 43

=12 \sqrt{3}

Answer 44

Совпало с условием. Значение найдено верно.

Answer 45

Записываем ответ

Мы нашли нужную длину. В поле ответа записываем только число, без обозначений и единиц измерения.

12

Ответ: 12.

Answer 46

Ответ: 12.

Что проверяем	Результат
Искомая величина	Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу
Ответ	$12$

Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу

Разбираем шаг за шагом

Связываем сторону с диаметром

Хорда AB лежит напротив угла C

Находим синус заданного угла

Выражаем радиус

Упрощаем знаменатель

Подставляем сторону и вычисляем радиус

Проверяем сторону

Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Радиус описанной окружности по стороне и противолежащему углу

Разбираем шаг за шагом

1Связываем сторону с диаметром

Хорда AB лежит напротив угла C

2Находим синус заданного угла

3Выражаем радиус

4Упрощаем знаменатель

5Подставляем сторону и вычисляем радиус

6Проверяем сторону

7Записываем ответ

Памятка

Что нужно знать

Типичные ошибки

Связываем сторону с диаметром

Находим синус заданного угла

Выражаем радиус

Упрощаем знаменатель

Подставляем сторону и вычисляем радиус

Проверяем сторону

Записываем ответ